Seja um grupo e . Prove que: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento desse grupo. A gente precisa provar que, para qualquer número inteiro e , a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de grupos e a definição de potências dentro deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a potência de um elemento em um grupo. Se está no grupo , então significa multiplicar por ele mesmo vezes se for positivo. Se for negativo, significa o inverso de multiplicado por ele mesmo vezes. Isso é parte das definições básicas de um grupo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar por ele mesmo vezes. Ou seja:

Passo 4

Uma propriedade fundamental dos grupos é que, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Então, multiplicando por ele mesmo vezes, temos:
Aqui, somamos vezes, o que resulta em .

Passo 5

Portanto, juntando tudo, vimos que:
Isso conclui a prova do que queríamos demonstrar.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere as bases e de relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .
(b) Se um vetor tem coordenadas em relação à base , quais são as coordenadas de em relação à base ?
Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam e duas bases de .
(a) Encontre a matriz de mudança de base , que transforma as coordenadas de um polinômio de para , e a matriz inversa .
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio em relação à base .
Considere os subespaços de definidos por
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) ,
(b) .
Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3. Seja uma base de . Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio em relação à base .