Seja
um grupo e
. Prove que:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
desse grupo. A gente precisa provar que, para qualquer número inteiro
e
, a expressão
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de grupos e a definição de potências dentro deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a potência de um elemento em um grupo. Se
está no grupo
, então
significa multiplicar
por ele mesmo
vezes se
for positivo. Se
for negativo,
significa o inverso de
multiplicado por ele mesmo
vezes. Isso é parte das definições básicas de um grupo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar
por ele mesmo
vezes. Ou seja:
Passo 4
Uma propriedade fundamental dos grupos é que, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Então, multiplicando
por ele mesmo
vezes, temos:
Aqui, somamos
vezes, o que resulta em
.
Passo 5
Portanto, juntando tudo, vimos que:
Isso conclui a prova do que queríamos demonstrar.