Seja
um grupo e
. Prove que:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
desse grupo. A gente precisa provar que, para qualquer número inteiro
e
, a expressão
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de grupos e a definição de potências dentro deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a potência de um elemento em um grupo. Se
está no grupo
, então
significa multiplicar
por ele mesmo
vezes se
for positivo. Se
for negativo,
significa o inverso de
multiplicado por ele mesmo
vezes. Isso é parte das definições básicas de um grupo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar
por ele mesmo
vezes. Ou seja:
Passo 4
Uma propriedade fundamental dos grupos é que, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Então, multiplicando
por ele mesmo
vezes, temos:
Aqui, somamos
vezes, o que resulta em
.
Passo 5
Portanto, juntando tudo, vimos que:
Isso conclui a prova do que queríamos demonstrar.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere as bases
e
de
relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de
para
e de
para
.
(b) Se um vetor tem coordenadas
em relação à base
, quais são as coordenadas de
em relação à base
?
(b) Se um vetor
Considere o espaço vetorial
dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam
e
duas bases de
.
(a) Encontre a matriz de mudança de base , que transforma as coordenadas de um polinômio de
para
, e a matriz inversa
.
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio em relação à base
.
(a) Encontre a matriz de mudança de base
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio
Considere os subespaços de
definidos por
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) ,
(b) .
(a)
(b)
Considere o espaço vetorial
dos polinômios de grau no máximo 3. Seja
uma base de
. Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio
em relação à base
.