Seja G um grupo e x in G. Prove que: (x^m)^n=x^m n forall m, n in Z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento desse grupo. A gente precisa provar que, para qualquer número inteiro e , a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de grupos e a definição de potências dentro deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a potência de um elemento em um grupo. Se está no grupo , então significa multiplicar por ele mesmo vezes se for positivo. Se for negativo, significa o inverso de multiplicado por ele mesmo vezes. Isso é parte das definições básicas de um grupo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão (x^m)^n = x^m cdot x^m cdot ldots cdot x^m (n vezes) . Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar por ele mesmo vezes. Ou seja:

Passo 4

Uma propriedade fundamental dos grupos é que, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Então, multiplicando x^m cdot x^m cdot ldots cdot x^m = x^m + m + ldots + m = x^m cdot n por ele mesmo vezes, temos:
Aqui, somamos vezes, o que resulta em .

Passo 5

Portanto, juntando tudo, vimos que:
(x^m)^n = x^m cdot n
Isso conclui a prova do que queríamos demonstrar.

Resposta

(x^m)^n = x^m n

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