Considere as bases B1=u1, u2, u3 e B2=v1, v2, v3 de R^3 relacionadas da seguinte forma:
& v1=u1+u3 & v2=u1-u2 & v3=u2-u3
Determine as matrizes mudança de base de B1 para B2 e de B2 para B1. Qual as coordenadas de u=(1,2,3)B1 com relação a base B2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, B1 = u1, u2, u3 e B2 = v1, v2, v3, no espaço tridimensional R^3. A relação entre as vetores das bases é dada por:
v1 &= u1 + u3 v2 &= u1 - u2 v3 &= u2 - u3
Queremos encontrar as matrizes de mudança de base de B1 para B2 e vice-versa. Além disso, vamos determinar as coordenadas do vetor u = (1, 2, 3)B1 na base B2. Para isso, vamos precisar entender como as bases estão relacionadas e como converter as coordenadas entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base de B1 para B2. Isso significa que queremos expressar cada vetor da base B2 em termos da base B1. A matriz de mudança de base, chamada de PB1 to B2, terá as coordenadas desses vetores como colunas.
Aí, a gente já sabe que:
v1 = u1 + u3 v2 = u1 - u2 v3 = u2 - u3

Passo 3

Agora, vamos escrever essas expressões em forma de coordenadas em relação à base B1. Cada vetor vi será representado como uma combinação linear das uj:
v1 = 1u1 + 0u2 + 1u3 v2 = 1u1 - 1u2 + 0u3 v3 = 0u1 + 1u2 - 1u3

Passo 4

Com isso, as coordenadas dessas combinações formam as colunas da matriz PB1 to B2:
PB1 to B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de B2 para , que chamaremos de B1, precisamos calcular a inversa da matriz que já encontramos. Isso porque a mudança de base inversa reverte o processo.
Então, vamos calcular PB2 to B1.

Passo 6

Vamos calcular a inversa da matriz PB1 to B2:
PB1 to B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
Para encontrar a inversa, podemos usar o método dos cofatores ou outro método que preferir. Aqui, vamos usar o método dos cofatores.

Passo 7

Calculando o determinante da matriz PB1 to B2:
det(P) = 1 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) = 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) + 0 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 8

Agora, encontramos a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores:
adj(P) = 1det(P) cdot (-1)(-1) - (1)(0) & -(1(-1) - 0 cdot 1) & 1(0) - (-1)(1) -(1(-1) - 1 cdot 1) & 1 cdot (-1) - 0 cdot 1 & -(1 cdot 0 - 0 cdot 1) 1 cdot 1 - (-1) cdot 0 & -(1 cdot 1 - 0 cdot 0) & 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 ^T
Simplificando:
adj(P) = 12 cdot 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & -1 & -2 ^T = 12 cdot 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 0 & -2

Passo 9

Então, a inversa de PB1 to B2 é:
PB2 to B1 = 12 cdot 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 0 & -2 = 12 & 12 & 12 12 & -12 & -12 12 & 0 & -1

Passo 10

Agora, temos as duas matrizes de mudança de base:
PB1 to B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 e PB2 to B1 = 12 & 12 & 12 12 & -12 & -12 12 & 0 & -1

Passo 11

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor u = (1, 2, 3)B1 na base B2. Para isso, usamos a matriz de mudança de base de B1 para , ou seja, B2.
A fórmula é:
PB1 to B2

Passo 12

Substituindo os valores:
[u]B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 cdot 1 2 3 = 1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot 3 0 cdot 1 + (-1) cdot 2 + 1 cdot 3 1 cdot 1 + 0 cdot 2 + (-1) cdot 3 = 1 + 2 + 0 0 - 2 + 3 1 + 0 - 3 = 3 1 -2

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
PB1 to B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 e PB2 to B1 = 12 & 12 & 12 12 & -12 & -12 12 & 0 & -1
As coordenadas do vetor u = (1, 2, 3)B1 na base B2 são:
[u]B2 = 3 1 -2

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