Considere as bases e de relacionadas da seguinte forma:
Determine as matrizes mudança de base de para e de para . Qual as coordenadas de com relação a base ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, e , no espaço tridimensional . A relação entre as vetores das bases é dada por:
Queremos encontrar as matrizes de mudança de base de para e vice-versa. Além disso, vamos determinar as coordenadas do vetor na base . Para isso, vamos precisar entender como as bases estão relacionadas e como converter as coordenadas entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base em termos da base . A matriz de mudança de base, chamada de , terá as coordenadas desses vetores como colunas.
Aí, a gente já sabe que:
Passo 3
Agora, vamos escrever essas expressões em forma de coordenadas em relação à base . Cada vetor será representado como uma combinação linear das :
Passo 4
Com isso, as coordenadas dessas combinações formam as colunas da matriz :
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de B2 para , que chamaremos de B1, precisamos calcular a inversa da matriz que já encontramos. Isso porque a mudança de base inversa reverte o processo.
Então, vamos calcular PB2 to B1.
Passo 6
Vamos calcular a inversa da matriz PB1 to B2:
PB1 to B2 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
Para encontrar a inversa, podemos usar o método dos cofatores ou outro método que preferir. Aqui, vamos usar o método dos cofatores.