Suponha que V1, V2, V3 é um conjunto linearmente independente de vetores de R^n. Responda se W1, W2, W3 é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) W1=V1+V2, W2=V1+V3 e W3=V2+V3;
(b) W1=V1, W2=V1+V3 e W3=V1+V2+V3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores, V1, V2, V3, que são linearmente independentes em um espaço R^n. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Agora, queremos verificar se os conjuntos W1, W2, W3 são linearmente dependentes ou independentes em dois casos diferentes: (a) e (b). Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se existe uma combinação de escalares que, multiplicados pelos vetores, dá o vetor zero somente quando todos os escalares são zero.

Passo 2

Caso (a): W1=V1+V2, W2=V1+V3 e W3=V2+V3

Primeiro, vamos assumir que existe uma combinação linear desses W que resulta no vetor zero:
c1W1 + c2W2 + c3W3 = 0
Substituindo os W pelas suas expressões em termos de V:
c1(V1 + V2) + c2(V1 + V3) + c3(V2 + V3) = 0
Distribuindo os coeficientes:
c1V1 + c1V2 + c2V1 + c2V3 + c3V2 + c3V3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(c1 + c2)V1 + (c1 + c3)V2 + (c2 + c3)V3 = 0
Como V1, V2, V3 são linearmente independentes, isso implica que os coeficientes de cada V devem ser zero:
c1 + c2 = 0 c1 + c3 = 0 c2 + c3 = 0
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação: c2 = -c1
  2. Da segunda equação: c3 = -c1
  3. Substituindo na terceira equação: -c1 + (-c1) = -2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
  4. Então, c2 = 0 e c3 = 0
Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores W1, W2, W3 são linearmente independentes.

Passo 3

Caso (b): W1=V1, W2=V1+V3 e W3=V1+V2+V3

Vamos novamente assumir que existe uma combinação linear desses W que resulta no vetor zero:
c1W1 + c2W2 + c3W3 = 0
Substituindo os W pelas suas expressões em termos de V:
c1V1 + c2(V1 + V3) + c3(V1 + V2 + V3) = 0
Distribuindo os coeficientes:
c1V1 + c2V1 + c2V3 + c3V1 + c3V2 + c3V3 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(c1 + c2 + c3)V1 + c3V2 + (c2 + c3)V3 = 0
Como V1, V2, V3 são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
c1 + c2 + c3 = 0 c3 = 0 c2 + c3 = 0
Resolvendo:
  1. Da segunda equação: c3 = 0
  2. Substituindo na terceira equação: c2 + 0 = 0 Rightarrow c2 = 0
  3. Substituindo c2 e c3 na primeira equação: c1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
Novamente, a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, o que significa que os vetores W1, W2, W3 são linearmente independentes.

Resposta

Nos dois casos (a) e (b), os conjuntos de vetores W1, W2, W3 são linearmente independentes.

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