Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação
usando rotação de eixos. Isso significa que vamos girar o sistema de coordenadas para simplificar a equação, eliminando o termo
. Para isso, precisaremos usar trigonometria e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o ângulo de rotação
que vai eliminar o termo
da equação. A fórmula para encontrar
é:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Substituindo na fórmula:
Isso significa que
, então:
Passo 3
Agora, vamos realizar a rotação dos eixos utilizando o ângulo de
. As fórmulas de rotação são:
Com
, sabemos que
. Substituindo na equação original:
Fazendo as substituições:
Simplificando:
Somando tudo:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora, temos a equação na forma canônica:
Podemos reescrevê-la dividindo ambos os lados por 2:
Ou, de forma mais simples:
Resposta
A equação canônica da cônica é
, que representa uma elipse.
Exercícios relacionados
Suponha que
é um conjunto linearmente independente de vetores de
. Responda se
é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) e
;
(b) e
.
(a)
(b)
Dar uma base e dimensão do subespaço:
Considere as bases
e
de
relacionadas da seguinte forma:
Determine as matrizes mudança de base de
para
e de
para
. Qual as coordenadas de
com relação a base
?
Defina os vetores
e
. Defina o vetor aleatório
. Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.