Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. x^2+x y+y^2=1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação usando rotação de eixos. Isso significa que vamos girar o sistema de coordenadas para simplificar a equação, eliminando o termo . Para isso, precisaremos usar trigonometria e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o ângulo de rotação tan(2theta) = ba - c que vai eliminar o termo tan(2theta) = 11 - 1 = 10 da equação. A fórmula para encontrar theta = 45^circ é:
Onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Substituindo na fórmula:
Isso significa que , então:

Passo 3

Agora, vamos realizar a rotação dos eixos utilizando o ângulo de x = x' costheta - y' sintheta . As fórmulas de rotação são:
y = x' sintheta + y' costheta
x^2 + xy + y^2 = 1
Com (x' - y'raiz2)^2 + (x' - y'raiz2)(x' + y'raiz2) + (x' + y'raiz2)^2 = 1 , sabemos que (x'^2 - 2x'y' + y'^2)2 + (x'^2 - y'^2)2 + (x'^2 + 2x'y' + y'^2)2 = 1 . Substituindo na equação original:
3x'^2 + y'^22 = 1
Fazendo as substituições:
3x'^2 + y'^2 = 2
Simplificando:
Somando tudo:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 4

Agora, temos a equação na forma canônica:
3x'^2 + y'^2 = 2
Podemos reescrevê-la dividindo ambos os lados por 2:
3x'^22 + y'^22 = 1
Ou, de forma mais simples:
x'^223 + y'^22 = 1

Resposta

A equação canônica da cônica é , que representa uma elipse.

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