Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação usando rotação de eixos. Isso significa que vamos girar o sistema de coordenadas para simplificar a equação, eliminando o termo . Para isso, precisaremos usar trigonometria e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o ângulo de rotação que vai eliminar o termo da equação. A fórmula para encontrar é:
Onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Substituindo na fórmula:
Isso significa que , então:

Passo 3

Agora, vamos realizar a rotação dos eixos utilizando o ângulo de . As fórmulas de rotação são:
Com , sabemos que . Substituindo na equação original:
Fazendo as substituições:
Simplificando:
Somando tudo:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 4

Agora, temos a equação na forma canônica:
Podemos reescrevê-la dividindo ambos os lados por 2:
Ou, de forma mais simples:

Resposta

A equação canônica da cônica é , que representa uma elipse.

Exercícios relacionados

Suponha que é um conjunto linearmente independente de vetores de . Responda se é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e .
Dar uma base e dimensão do subespaço:
Considere as bases e de relacionadas da seguinte forma:
Determine as matrizes mudança de base de para e de para . Qual as coordenadas de com relação a base ?
Defina os vetores e . Defina o vetor aleatório . Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.