Defina os vetores e . Defina o vetor aleatório . Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores definidos como , e . Além disso, temos um vetor aleatório , que significa que cada componente de é um número inteiro aleatório entre 1 e 3. O objetivo é verificar se esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Uma combinação linear dos vetores , e significa que existem escalares , e tais que:
Isso se traduz em:
Onde , , e são as componentes do vetor .
Passo 3
Vamos expandir a equação acima para obter um sistema de três equações lineares:
Esse sistema pode ser representado na forma matricial como:
[
]
Passo 4
Para verificar se existe uma solução para esse sistema, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
Como o determinante é zero, a matriz é singular e o sistema pode não ter soluções únicas. Isso significa que, para certos vetores , pode não existir uma combinação linear dos vetores , e que resulte em . Portanto, a possibilidade de ser uma combinação linear depende das componentes específicas de .
Resposta
Depende das componentes específicas de . Para alguns vetores com elementos entre 1 e 3, é possível expressi-los como uma combinação linear dos vetores , e . No entanto, como a matriz dos coeficientes é singular, nem todos os vetores atenderão a essa condição. Assim, é uma combinação linear de , e apenas para certos valores específicos de .