Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
O objetivo é encontrar a equação canônica dessa cônica usando rotações e translações de eixos, e também identificar qual tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de segundo grau e transformações de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de cônica estamos falando. Para isso, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
Aqui, os coeficientes da nossa equação são:
  • A = 16
  • B = -24
  • C = 9
Calculando o discriminante:
Quando o discriminante é zero, a cônica pode ser um par de retas, uma parábola ou outras possibilidades dependendo dos coeficientes. Mas vamos prosseguir para transformar a equação e ver melhor.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo cruzado usando uma rotação de eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas para que o termo desapareça. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Então,
Calculando :

Passo 4

Com o ângulo encontrado, aplicamos a rotação para transformar a equação. As novas coordenadas são dadas por:
Substituindo na equação original e simplificando (o que elimina o termo ), obtemos uma equação sem o termo cruzado. Essa nova equação estará na forma:

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e e assim encontrar uma forma mais simples da equação. Isso envolve reorganizar os termos e ajustar constantes para obter algo como:
ou outra forma canônica correspondente ao tipo de cônica identificada.

Passo 6

Após completar os quadrados, identificamos os valores de , , e , que nos dão o centro, os eixos e outras características da cônica. Com esses valores, podemos escrever a equação canônica final.

Resposta

A equação canônica da cônica após rotação e translação de eixos é:
Essa é a equação de uma elipse com centro em , eixo maior de comprimento e eixo menor de comprimento .

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Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.