Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
O objetivo é encontrar a equação canônica dessa cônica usando rotações e translações de eixos, e também identificar qual tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de segundo grau e transformações de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar de que tipo de cônica estamos falando. Para isso, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
Aqui, os coeficientes da nossa equação são:
- A = 16
- B = -24
- C = 9
Calculando o discriminante:
Quando o discriminante é zero, a cônica pode ser um par de retas, uma parábola ou outras possibilidades dependendo dos coeficientes. Mas vamos prosseguir para transformar a equação e ver melhor.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o termo cruzado
usando uma rotação de eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas para que o termo
desapareça. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Substituindo os valores:
Então,
Calculando
:
Passo 4
Com o ângulo
encontrado, aplicamos a rotação para transformar a equação. As novas coordenadas
são dadas por:
Substituindo na equação original e simplificando (o que elimina o termo
), obtemos uma equação sem o termo cruzado. Essa nova equação estará na forma:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
e assim encontrar uma forma mais simples da equação. Isso envolve reorganizar os termos e ajustar constantes para obter algo como:
ou outra forma canônica correspondente ao tipo de cônica identificada.
Passo 6
Após completar os quadrados, identificamos os valores de
,
,
e
, que nos dão o centro, os eixos e outras características da cônica. Com esses valores, podemos escrever a equação canônica final.
Resposta
A equação canônica da cônica após rotação e translação de eixos é:
Essa é a equação de uma elipse com centro em
, eixo maior de comprimento
e eixo menor de comprimento
.
Exercícios relacionados
Defina os vetores
e
. Defina o vetor aleatório
. Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
Considere as bases
e
de
relacionadas da seguinte forma:
Determine as matrizes mudança de base de
para
e de
para
. Qual as coordenadas de
com relação a base
?
Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial abaixo:
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.