Considere as bases beta=(-1,1),(1,1) e beta^prime=v1, v2. A matriz de mudança da base beta^prime para a base beta é dada por
Ibeta^beta^prime=(ll 1 & 1 2 & 3 )
Determine a base beta^prime.

Passo 1

O enunciado fala sobre bases de um espaço vetorial, especificamente as bases beta = (-1,1),(1,1) e beta' = v1, v2. A gente precisa descobrir quais são os vetores v1 e v2 que formam a base beta'. Para isso, vamos usar a matriz de mudança de base que nos foi dada:
Ibeta^beta^prime=(ll 1 & 1 2 & 3 )
Será necessário entender como essa matriz relaciona as duas bases e aplicar conceitos de transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No caso, Ibeta^beta^prime converte coordenadas da base beta' para a base beta. Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor da base beta' na base beta.

Passo 3

Vamos identificar as colunas da matriz Ibeta^beta^prime. A primeira coluna, 1 2, representa as coordenadas de v1 na base beta. A segunda coluna, 1 3, representa as coordenadas de v2 na base beta.

Passo 4

Agora, sabemos que qualquer vetor na base beta' pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base beta. Ou seja:
v1 = 1 cdot (-1,1) + 2 cdot (1,1)
v2 = 1 cdot (-1,1) + 3 cdot (1,1)

Passo 5

Vamos calcular essas combinações lineares:
Para v1:
v1 = (-1,1) + 2 cdot (1,1) = (-1,1) + (2,2) = (1,3)
Para v2:
v2 = (-1,1) + 3 cdot (1,1) = (-1,1) + (3,3) = (2,4)

Resposta

A base beta^prime é , (1, 3), (2, 4),.

Exercícios relacionados

Verifique se as matrizes são diagonalizáveis:
a) A=(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & -5 & 4)
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular (A B) C.
Sendo A=(ai j)3 times 2, com ai j=2 i-j e B=(bi j)3 times 2, com bi j=i^2+j, calcule:
(a) A-B.
Considere a transformação linear T: R^4 R^4 dada por
T(x, y, z, w)=(x+y, z-w, x+y-z+w, w)
c) (-1,-1,0,3) in Im(T) ?