Considere a transformação linear T: R^4 R^4 dada por
T(x, y, z, w)=(x+y, z-w, x+y-z+w, w)
c) (-1,-1,0,3) in Im(T) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformações lineares na álgebra linear. A pergunta é: o vetor (-1, -1, 0, 3) está na imagem da transformação T definida por
T(x, y, z, w) = (x+y, z-w, x+y-z+w, w)
Para descobrir isso, a gente precisa verificar se existe algum vetor (x, y, z, w) que, quando passamos pela transformação T, resulta nesse vetor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar na imagem da transformação. A imagem de T, Im(T), é o conjunto de todos os vetores que a transformação T pode produzir. Então, para saber se (-1, -1, 0, 3) está na imagem, precisamos resolver a equação:
T(x, y, z, w) = (-1, -1, 0, 3)

Passo 3

Vamos escrever essa equação componente por componente. Isso dá o seguinte sistema de equações:
x + y = -1 z - w = -1 x + y - z + w = 0 w = 3
Aqui, cada linha corresponde a uma das componentes do vetor transformado.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a última equação, que já está isolada:
w = 3
Com o valor de w, podemos substituir nas outras equações.

Passo 5

Substituindo w = 3 na segunda equação:
z - 3 = -1 Rightarrow z = -1 + 3 Rightarrow z = 2

Passo 6

Agora, sabemos que w = 3 e z = 2. Vamos substituir esses valores na terceira equação:
x + y - 2 + 3 = 0 Rightarrow x + y + 1 = 0 Rightarrow x + y = -1
Essa é a mesma que a primeira equação, então tudo está consistente até aqui.

Passo 7

A primeira equação já nos dá uma relação entre x e y:
x + y = -1
Mas precisamos de valores específicos para x e y. Aqui, temos infinitas soluções possíveis, mas pelo menos um par (x, y) que satisfaz essa equação existe, por exemplo:
x = -1, y = 0
ou
x = 0, y = -1

Resposta

Sim, o vetor (-1, -1, 0, 3) está na imagem da transformação T.

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© (A+B)^t.