Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformações lineares na álgebra linear. A pergunta é: o vetor está na imagem da transformação definida por
Para descobrir isso, a gente precisa verificar se existe algum vetor que, quando passamos pela transformação , resulta nesse vetor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar na imagem da transformação. A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que a transformação pode produzir. Então, para saber se está na imagem, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos escrever essa equação componente por componente. Isso dá o seguinte sistema de equações:
Aqui, cada linha corresponde a uma das componentes do vetor transformado.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a última equação, que já está isolada:
w = 3
Com o valor de w, podemos substituir nas outras equações.
Passo 5
Substituindo w = 3 na segunda equação:
z - 3 = -1 Rightarrow z = -1 + 3 Rightarrow z = 2
Passo 6
Agora, sabemos que w = 3 e z = 2. Vamos substituir esses valores na terceira equação:
x + y - 2 + 3 = 0 Rightarrow x + y + 1 = 0 Rightarrow x + y = -1
Essa é a mesma que a primeira equação, então tudo está consistente até aqui.
Passo 7
A primeira equação já nos dá uma relação entre x e y:
x + y = -1
Mas precisamos de valores específicos para x e y. Aqui, temos infinitas soluções possíveis, mas pelo menos um par (x, y) que satisfaz essa equação existe, por exemplo:
x = -1, y = 0
ou
x = 0, y = -1
Resposta
Sim, o vetor (-1, -1, 0, 3) está na imagem da transformação T.