Verifique se as matrizes são diagonalizáveis:
a) A=(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & -5 & 4)

Passo 1

Vamos verificar se a matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & -5 & 4 é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores da matriz e verificar se para cada autovalor existe um número suficiente de autovetores para diagonalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica det , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 2 & -5 & 4 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = -lambda cdot -lambda & 1 -5 & 4 - lambda - 1 cdot 0 & 1 2 & 4 - lambda
= -lambda [(-lambda)(4 - lambda) - (1)(-5)] - 1 [0 cdot (4 - lambda) - 1 cdot 2]
= -lambda (lambda^2 - 4lambda + 5) + 2
= -lambda^3 + 4lambda^2 - 5lambda + 2

Passo 5

A equação característica é:
-lambda^3 + 4lambda^2 - 5lambda + 2 = 0 Rightarrow lambda^3 - 4lambda^2 + 5lambda - 2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores.

Passo 6

Testando possíveis raízes racionais (1 e 2):
lambda = 1: 1 - 4 + 5 - 2 = 0 é raiz é
Fatorando lambda^3 - 4lambda^2 + 5lambda - 2 = (lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda + 2) :
lambda = 1 e lambda = 2
Resolvendo :
Então, os autovalores são (multiplicidade 2) e .

Passo 7

Agora, vamos verificar se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) é igual à multiplicidade algébrica (quantidade de vezes que o autovalor aparece).

Passo 8

Para A - I = -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 2 & -5 & 3 , montamos :
Vamos resolver o sistema homogêneo .

Passo 9

Reduzindo a matriz:
-1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 2 & -5 & 3 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & -3 & 3 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 6
O sistema resultante é:
- x + y = 0 - y + z = 0 6z = 0
Resolvendo, obtemos , e . Isso significa que a única solução é a trivial, indicando que a multiplicidade geométrica para é 1, menor que sua multiplicidade algébrica (2).

Passo 10

Para A - 2I = -2 & 1 & 0 0 & -2 & 1 2 & -5 & 2 , montamos :
Resolvendo , encontramos que a multiplicidade geométrica é 1, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 11

Como para o autovalor a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não há um conjunto completo de autovetores para diagonalizar .

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

Exercícios relacionados