Considere as bases e de .
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, e , para o espaço de polinômios de grau no máximo 2, . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a inversa da matriz que foi obtida na parte a) do exercício, para assim encontrar a matriz de mudança de base de para . Para isso, vamos precisar trabalhar com operações de matrizes, especialmente como encontrar a inversa de uma matriz 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Quando você tem duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. No nosso caso, temos as bases e , e queremos a matriz que faz essa conversão.
Passo 3
Vamos assumir que na parte a) do exercício, já foi montada a matriz que representa a transformação de para . Para encontrar a matriz de mudança de base inversa, que vai de para , precisamos calcular a inversa de , ou seja, .
Passo 4
Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, a gente pode usar a fórmula que envolve o determinante e a matriz adjunta. A fórmula é:
Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de .
Passo 5
Calculando o determinante de :
Onde os elementos de são:
Substitua os valores específicos de nessa fórmula para encontrar .
Passo 6
Depois de encontrar o determinante, verificamos se ele é diferente de zero. Se , a matriz invertível existe e podemos continuar.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de . Isso envolve calcular os cofatores para cada elemento de , montar a matriz de cofatores e então transpor essa matriz.
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
Multiplicamos cada elemento da matriz adjunta pelo inverso do determinante para obter a matriz inversa.
Resposta
A inversa da matriz , que representa a mudança de base de para , é dada por:
Após calcular e com os valores específicos da matriz obtida na parte a), você substitui na fórmula acima para obter a matriz de mudança de base desejada.