Considere as bases e de .
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, e , para o espaço de polinômios de grau no máximo 2, . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a inversa da matriz que foi obtida na parte a) do exercício, para assim encontrar a matriz de mudança de base de para . Para isso, vamos precisar trabalhar com operações de matrizes, especialmente como encontrar a inversa de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Quando você tem duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. No nosso caso, temos as bases e , e queremos a matriz que faz essa conversão.

Passo 3

Vamos assumir que na parte a) do exercício, já foi montada a matriz que representa a transformação de para . Para encontrar a matriz de mudança de base inversa, que vai de para , precisamos calcular a inversa de , ou seja, .

Passo 4

Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, a gente pode usar a fórmula que envolve o determinante e a matriz adjunta. A fórmula é:
Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de .

Passo 5

Calculando o determinante de :
Onde os elementos de são:
Substitua os valores específicos de nessa fórmula para encontrar .

Passo 6

Depois de encontrar o determinante, verificamos se ele é diferente de zero. Se , a matriz invertível existe e podemos continuar.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de . Isso envolve calcular os cofatores para cada elemento de , montar a matriz de cofatores e então transpor essa matriz.

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
Multiplicamos cada elemento da matriz adjunta pelo inverso do determinante para obter a matriz inversa.

Resposta

A inversa da matriz , que representa a mudança de base de para , é dada por:
Após calcular e com os valores específicos da matriz obtida na parte a), você substitui na fórmula acima para obter a matriz de mudança de base desejada.

Exercícios relacionados

Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Sejam e três bases ordenadas de .
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base: , . Verifique que .
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?
Seja uma matriz de ordem tal que . Mostre que ou .
A matriz mudança de base em , da base para a base é dada por . Determine a base .