Seja
uma matriz de ordem
tal que
. Mostre que
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz quadrada
de ordem
que, quando multiplicamos a sua transposta
pela própria matriz, resulta na matriz identidade
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o determinante dessa matriz
é igual a 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, determinantes e propriedades que conectam essas coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz,
, é uma matriz onde as linhas de
viram colunas e vice-versa. A equação
nos diz que
é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais têm propriedades legais, especialmente quando se trata de determinantes.
Passo 3
Uma propriedade chave das matrizes ortogonais é que o determinante de uma matriz ortogonal é sempre 1 ou -1. Isso vem do fato de que
. Sabemos que
. Além disso,
porque
.
Passo 4
Então, temos
. Para resolver isso, pensamos em quais números ao quadrado dão 1. São exatamente 1 e -1. Logo,
ou
.
Resposta
Portanto, o determinante da matriz
é igual a 1 ou -1.
Exercícios relacionados
Considere as bases
e
de
.
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para
.
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de
Considere as bases
e
de
.
Encontre a matriz de mudança da base para a base
.
Encontre a matriz de mudança da base
A matriz mudança de base em
, da base
para a base
é dada por
. Determine a base
.