Seja B uma matriz de ordem n tal que B^t B=In. Mostre que det B=1 ou det B=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz quadrada B de ordem n que, quando multiplicamos a sua transposta B^t pela própria matriz, resulta na matriz identidade In. Nosso objetivo aqui é mostrar que o determinante dessa matriz B é igual a 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, determinantes e propriedades que conectam essas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz, B^t, é uma matriz onde as linhas de B viram colunas e vice-versa. A equação B^t B = In nos diz que B é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais têm propriedades legais, especialmente quando se trata de determinantes.

Passo 3

Uma propriedade chave das matrizes ortogonais é que o determinante de uma matriz ortogonal é sempre 1 ou -1. Isso vem do fato de que det(B^t B) = det(In). Sabemos que det(In) = 1. Além disso, det(B^t B) = det(B^t) det(B) = (det B)^2 porque det(B^t) = det B.

Passo 4

Então, temos (det B)^2 = 1. Para resolver isso, pensamos em quais números ao quadrado dão 1. São exatamente 1 e -1. Logo, det B = 1 ou det B = -1.

Resposta

Portanto, o determinante da matriz B é igual a 1 ou -1.

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