Seja uma matriz de ordem tal que . Mostre que ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz quadrada de ordem que, quando multiplicamos a sua transposta pela própria matriz, resulta na matriz identidade . Nosso objetivo aqui é mostrar que o determinante dessa matriz é igual a 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, determinantes e propriedades que conectam essas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz, , é uma matriz onde as linhas de viram colunas e vice-versa. A equação nos diz que é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais têm propriedades legais, especialmente quando se trata de determinantes.

Passo 3

Uma propriedade chave das matrizes ortogonais é que o determinante de uma matriz ortogonal é sempre 1 ou -1. Isso vem do fato de que . Sabemos que . Além disso, porque .

Passo 4

Então, temos . Para resolver isso, pensamos em quais números ao quadrado dão 1. São exatamente 1 e -1. Logo, ou .

Resposta

Portanto, o determinante da matriz é igual a 1 ou -1.

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