A matriz mudança de base em , da base para a base é dada por . Determine a base .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma **matriz de mudança de base** de uma base desconhecida β para a base α = {(1,1), (1,2)} no espaço ℝ². Nosso objetivo é descobrir qual é essa base β. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar a matriz fornecida para encontrar os vetores que formam a base β.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma **matriz de mudança de base**. Ela serve para converter as coordenadas de vetores de uma base para outra. No nosso caso, a matriz de mudança de base de β para α é:
Isso significa que cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base β expressos na base α. Ou seja, o primeiro vetor de β, que vamos chamar de , tem coordenadas (1,2) na base α, e o segundo vetor tem coordenadas (0,3) na base α.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir quais são os vetores e na base padrão, isto é, na base usual do ℝ². Para isso, usamos a combinação linear dos vetores da base α com os coeficientes fornecidos pela matriz de mudança.
Sabemos que qualquer vetor na base β pode ser escrito como:
onde e , e e são os coeficientes das coordenadas na base α.
Vamos calcular e :
Para com coordenadas (1,2):
Passo 4
Agora, vamos calcular com coordenadas (0,3):
Resposta
A base β é composta pelos vetores e .
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Seja uma matriz de ordem tal que . Mostre que ou .
Considere as bases e de .
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para .
Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
Determine a matriz .