A matriz mudança de base em R^2, da base beta para a base alpha=(1,1),(1,2) é dada por (ll1 & 0 2 & 3). Determine a base beta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de mudança de base de uma base desconhecida β para a base α = {(1,1), (1,2)} no espaço ℝ². Nosso objetivo é descobrir qual é essa base β. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar a matriz fornecida para encontrar os vetores que formam a base β.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de vetores de uma base para outra. No nosso caso, a matriz de mudança de base de β para α é:
1 & 0 2 & 3
Isso significa que cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base β expressos na base α. Ou seja, o primeiro vetor de β, que vamos chamar de , tem coordenadas (1,2) na base α, e o segundo vetor tem coordenadas (0,3) na base α.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir quais são os vetores v = c1 cdot alpha1 + c2 cdot alpha2 e v1 = 1 cdot (1,1) + 2 cdot (1,2) = (1 + 2, 1 + 4) = (3,5) na base padrão, isto é, na base usual do ℝ². Para isso, usamos a combinação linear dos vetores da base α com os coeficientes fornecidos pela matriz de mudança.
Sabemos que qualquer vetor na base β pode ser escrito como:
onde e , e e são os coeficientes das coordenadas na base α.
Vamos calcular e :
Para com coordenadas (1,2):

Passo 4

Agora, vamos calcular v2 = 0 cdot (1,1) + 3 cdot (1,2) = (0 + 3, 0 + 6) = (3,6) com coordenadas (0,3):

Resposta

A base β é composta pelos vetores e .

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