A matriz mudança de base em , da base para a base é dada por . Determine a base .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma **matriz de mudança de base** de uma base desconhecida β para a base α = {(1,1), (1,2)} no espaço ℝ². Nosso objetivo é descobrir qual é essa base β. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar a matriz fornecida para encontrar os vetores que formam a base β.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma **matriz de mudança de base**. Ela serve para converter as coordenadas de vetores de uma base para outra. No nosso caso, a matriz de mudança de base de β para α é: Isso significa que cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base β expressos na base α. Ou seja, o primeiro vetor de β, que vamos chamar de , tem coordenadas (1,2) na base α, e o segundo vetor tem coordenadas (0,3) na base α.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir quais são os vetores e na base padrão, isto é, na base usual do ℝ². Para isso, usamos a combinação linear dos vetores da base α com os coeficientes fornecidos pela matriz de mudança. Sabemos que qualquer vetor na base β pode ser escrito como: onde e , e e são os coeficientes das coordenadas na base α. Vamos calcular e : Para com coordenadas (1,2):

Passo 4

Agora, vamos calcular com coordenadas (0,3):

Resposta

A base β é composta pelos vetores e .

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