Sejam
e
três bases ordenadas de
.
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base:
,
. Verifique que
.
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base:
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três bases ordenadas de
:
O objetivo aqui é encontrar as matrizes de mudança de base entre essas bases. Para isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
, que é
.
Para isso, a gente precisa expressar cada vetor da base
em termos da base
.
Vamos começar com o primeiro vetor de
:
.
Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Daí,
e
.
Agora, o segundo vetor de
:
.
Queremos
e
tais que:
Isso dá o sistema:
Então,
e
.
Agora, juntamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
, que é
.
Vamos expressar cada vetor de
na base
.
Primeiro vetor de
:
.
Queremos
e
tais que:
Isso dá o sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
e
.
Segundo vetor de
:
.
Queremos
e
tais que:
Isso resulta em:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Assim,
e
.
Montamos a matriz:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
, que é
.
Para isso, podemos usar a relação:
Já temos as duas matrizes que precisamos multiplicar:
Vamos multiplicar as duas matrizes:
Calculando cada elemento:
Resposta
As matrizes de mudança de base são:
Além disso, verificamos que:
Parte b)
Vamos calcular as inversas das matrizes encontradas em a):
-
:
-
:
-
:
Essas matrizes inversas representam as mudanças de base nas direções opostas, ou seja:
- : de
para - : de
para - : de
para
Exercícios relacionados
Seja
dada por
.
Sejam e
bases de
e
, respectivamente. Determine a matriz mudança de base em
, da base
para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em
, da base canônica para a base
.
Sejam
Seja
dada por
. Sejam
a base canônica de
e
outra base de
.
A transformação é inversível? Caso seja, determine
A transformação
Considere as bases
e
de
.
Encontre a matriz de mudança da base para a base
.
Encontre a matriz de mudança da base
Considere as bases
e
de
.
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para
.
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de