Sejam beta1=(1,0),(0,2), beta2=(-1,0),(1,1) e beta3=(-1,-1),(0,-1) três bases ordenadas de R^2.
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base: [II beta2^beta1, [I]beta3^beta2 e[I]beta3^beta1. Verifique que [I]beta3^beta1= ^[I]beta3^beta2 cdot[I]beta2^beta1.
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três bases ordenadas de :
O objetivo aqui é encontrar as matrizes de mudança de base entre essas bases. Para isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de (-1,0) = a(1,0) + b(0,2) para -1 = a 0 = 2b , que é (1,1) = a(1,0) + b(0,2) .
Para isso, a gente precisa expressar cada vetor da base 1 = a 1 = 2b em termos da base [II]beta2^beta1 = -1 & 1 0 & 12 .
Vamos começar com o primeiro vetor de : .
Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema:
Daí, e .
Agora, o segundo vetor de : .
Queremos e tais que:
Isso dá o sistema:
Então, e .
Agora, juntamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de (-1,-1) = c(-1,0) + d(1,1) para -1 = -c + d -1 = 0c + d , que é -1 = -c + (-1) Rightarrow c = 0 .
Vamos expressar cada vetor de (0,-1) = c(-1,0) + d(1,1) na base 0 = -c + d -1 = 0c + d .
Primeiro vetor de 0 = -c + (-1) Rightarrow c = -1 : [I]beta3^beta2 = 0 & -1 -1 & -1 .
Queremos e tais que:
Isso dá o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, e .
Segundo vetor de : .
Queremos e tais que:
Isso resulta em:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Assim, e .
Montamos a matriz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de [I]beta3^beta1 = [I]beta3^beta2 cdot [II]beta2^beta1 para [I]beta3^beta2 = 0 & -1 -1 & -1 , [II]beta2^beta1 = -1 & 1 0 & 12 , que é [I]beta3^beta1 = 0 & -1 -1 & -1 cdot -1 & 1 0 & 12 = 0 cdot (-1) + (-1) cdot 0 & 0 cdot 1 + (-1) cdot 12 -1 cdot (-1) + (-1) cdot 0 & -1 cdot 1 + (-1) cdot 12 .
Para isso, podemos usar a relação:
[I]beta3^beta1 = 0 & -12 1 & -32
Já temos as duas matrizes que precisamos multiplicar:
Vamos multiplicar as duas matrizes:
Calculando cada elemento:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[II]beta2^beta1 = -1 & 1 0 & 12 , [I]beta3^beta2 = 0 & -1 -1 & -1 , [I]beta3^beta1 = 0 & -12 1 & -32
Além disso, verificamos que:
[I]beta3^beta1 = [I]beta3^beta2 cdot [II]beta2^beta1

Parte b)
Vamos calcular as inversas das matrizes encontradas em a):
  1. [II]beta2^beta1^-1 = -1 & 1 0 & 12 ^-1 = -1 & 2 0 & 2 :
  1. [I]beta3^beta2^-1 = 0 & -1 -1 & -1 ^-1 = -1 & -1 -1 & 0 :
  1. [I]beta3^beta1^-1 = 0 & -12 1 & -32 ^-1 = 3 & 1 2 & 0 :
Essas matrizes inversas representam as mudanças de base nas direções opostas, ou seja:
  • : de para
  • : de para
  • : de para

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