Sejam e três bases ordenadas de .
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base: , . Verifique que .
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três bases ordenadas de :
O objetivo aqui é encontrar as matrizes de mudança de base entre essas bases. Para isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que é .
Para isso, a gente precisa expressar cada vetor da base em termos da base .
Vamos começar com o primeiro vetor de : .
Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema:
Daí, e .
Agora, o segundo vetor de : .
Queremos e tais que:
Isso dá o sistema:
Então, e .
Agora, juntamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que é .
Vamos expressar cada vetor de na base .
Primeiro vetor de : .
Queremos e tais que:
Isso dá o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, e .
Segundo vetor de : .
Queremos e tais que:
Isso resulta em:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Assim, e .
Montamos a matriz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que é .
Para isso, podemos usar a relação:
Já temos as duas matrizes que precisamos multiplicar:
Vamos multiplicar as duas matrizes:
Calculando cada elemento:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
Além disso, verificamos que:

Parte b)
Vamos calcular as inversas das matrizes encontradas em a):
  1. :
  1. :
  1. :
Essas matrizes inversas representam as mudanças de base nas direções opostas, ou seja:
  • : de para
  • : de para
  • : de para

Exercícios relacionados

Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .
Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
A transformação é inversível? Caso seja, determine
Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Considere as bases e de .
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para .