Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base da base para a base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de . Basicamente, a gente vai precisar entender como passar de uma base para a outra, usando conceitos de álgebra linear como combinação linear e sistemas de equações. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base para as coordenadas na base . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos escrever os vetores das duas bases:
Base
Base
Nosso objetivo é encontrar coeficientes , , tais que:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para cada vetor da base beta2. Para cada vetor, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de x^2, x e o termo constante.
Para o primeiro vetor (2):
2 = a(6) + b(1) + c(-2)
0x = a(3x) + b(-2x) + c(2x)
0x^2 = a(0x^2) + b(0x^2) + c(x^2)
Isso nos dá o sistema:
6a + b - 2c = 2 3a - 2b + 2c = 0 c = 0
Como c = 0, substituímos nas outras equações:
6a + b = 2
3a - 2b = 0
Resolvendo, temos a = 23 e b = 1. Então, a primeira coluna da matriz de mudança é:
23 1 0
Para o segundo vetor (3 + 2x):
3 + 2x = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2)
Igualando os coeficientes:
x^2: c = 0
x: 3a - 2b + 2c = 2
Constante: 6a + b - 2c = 3
Novamente, c = 0. As equações ficam:
3a - 2b = 2
6a + b = 3
Resolvendo, encontramos a = 23 e b = 13. Então, a segunda coluna da matriz é: