Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base da base para a base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de . Basicamente, a gente vai precisar entender como passar de uma base para a outra, usando conceitos de álgebra linear como combinação linear e sistemas de equações. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base para as coordenadas na base . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos escrever os vetores das duas bases:
  • Base
  • Base
Nosso objetivo é encontrar coeficientes , , tais que:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para cada vetor da base . Para cada vetor, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de , e o termo constante.
Para o primeiro vetor (2):
Isso nos dá o sistema:
Como , substituímos nas outras equações:
Resolvendo, temos e . Então, a primeira coluna da matriz de mudança é:
Para o segundo vetor ( ):
Igualando os coeficientes:
Novamente, . As equações ficam:
Resolvendo, encontramos e . Então, a segunda coluna da matriz é:
Para o terceiro vetor ( ):
Igualando os coeficientes:
Como , substituímos:
Resolvendo, temos e . Então, a terceira coluna da matriz é:

Resposta

A matriz de mudança da base para a base é:

Exercícios relacionados

Sejam e três bases ordenadas de .
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base: , . Verifique que .
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?
Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .
Considere as bases e de .
Calcule a inversa da matriz obtida em a) para obter a matriz mudança de base de para .
Seja uma matriz de ordem tal que . Mostre que ou .