Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base da base para a base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de . Basicamente, a gente vai precisar entender como passar de uma base para a outra, usando conceitos de álgebra linear como combinação linear e sistemas de equações. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base para as coordenadas na base . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos escrever os vetores das duas bases:
Base
Base
Nosso objetivo é encontrar coeficientes , , tais que:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para cada vetor da base . Para cada vetor, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de , e o termo constante.
Para o primeiro vetor (2):
Isso nos dá o sistema:
Como , substituímos nas outras equações:
Resolvendo, temos e . Então, a primeira coluna da matriz de mudança é:
Para o segundo vetor ():
Igualando os coeficientes:
Novamente, . As equações ficam:
Resolvendo, encontramos e . Então, a segunda coluna da matriz é:
Para o terceiro vetor ():
Igualando os coeficientes:
Como , substituímos:
Resolvendo, temos e . Então, a terceira coluna da matriz é: