Considere as bases beta1=6+3 x, 1-2 x, x^2+2 x-2 e beta2=2,3+2 x, 5-2 x-x^2 de P2.
Encontre a matriz de mudança da base beta2 para a base beta1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base da base beta2 para a base beta1 no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de P2. Basicamente, a gente vai precisar entender como passar de uma base para a outra, usando conceitos de álgebra linear como combinação linear e sistemas de equações. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base beta2 para as coordenadas na base beta1. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base beta2 como uma combinação linear dos vetores da base beta1.

Passo 3

Vamos escrever os vetores das duas bases:
  • Base beta1 = 6 + 3x, 1 - 2x, x^2 + 2x - 2
  • Base beta2 = 2, 3 + 2x, 5 - 2x - x^2
Nosso objetivo é encontrar coeficientes a, b, c tais que:
2 = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2) 3 + 2x = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2) 5 - 2x - x^2 = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2)

Passo 4

Vamos resolver essas equações para cada vetor da base beta2. Para cada vetor, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de x^2, x e o termo constante.
Para o primeiro vetor (2):
2 = a(6) + b(1) + c(-2)
0x = a(3x) + b(-2x) + c(2x)
0x^2 = a(0x^2) + b(0x^2) + c(x^2)
Isso nos dá o sistema:
6a + b - 2c = 2 3a - 2b + 2c = 0 c = 0
Como c = 0, substituímos nas outras equações:
6a + b = 2
3a - 2b = 0
Resolvendo, temos a = 23 e b = 1. Então, a primeira coluna da matriz de mudança é:
23 1 0
Para o segundo vetor ( 3 + 2x):
3 + 2x = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2)
Igualando os coeficientes:
x^2: c = 0
x: 3a - 2b + 2c = 2
Constante: 6a + b - 2c = 3
Novamente, c = 0. As equações ficam:
3a - 2b = 2
6a + b = 3
Resolvendo, encontramos a = 23 e b = 13. Então, a segunda coluna da matriz é:
23 13 0
Para o terceiro vetor ( 5 - 2x - x^2):
5 - 2x - x^2 = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2)
Igualando os coeficientes:
x^2: c = -1
x: 3a - 2b + 2c = -2
Constante: 6a + b - 2c = 5
Como c = -1, substituímos:
3a - 2b - 2 = -2 implies 3a - 2b = 0
6a + b + 2 = 5 implies 6a + b = 3
Resolvendo, temos a = 12 e b = 0. Então, a terceira coluna da matriz é:
12 0 -1

Resposta

A matriz de mudança da base beta2 para a base beta1 é:
23 & 23 & 12 1 & 13 & 0 0 & 0 & -1

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