Considere as bases e de .
Encontre as coordenadas de na base . Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de na base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vetor na base e depois usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas desse vetor na base . Aqui, estamos trabalhando com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender de bases, coordenadas de vetores em uma base e como mudar de uma base para outra usando uma matriz de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que queremos escrever como uma combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 4

A partir da primeira equação, já sabemos que . Vamos substituir nas outras duas equações:
Para o termo de :
Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos . Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Então, os valores que encontramos são:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 7

Agora, vamos usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas de na base . A ideia é que, se temos as coordenadas de em e temos a matriz que muda de para , podemos achar as coordenadas em .
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .

Passo 8

Para construir a matriz de mudança de base, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, para cada vetor em , queremos encontrar as coordenadas na base .
Vamos fazer isso para cada vetor de :
  1. Expressar na base :
  1. Expressar na base :
  1. Expressar na base :

Passo 9

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar as coordenadas , e para cada vetor.
Primeiro vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Como , temos:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Segundo vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Como , temos:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equa�o por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Terceiro vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Substituindo :
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:

Passo 10

Agora, podemos montar a matriz de mudança de base usando as coordenadas que encontramos:

Passo 11

Finalmente, para encontrar as coordenadas de na base , basta multiplicar a matriz de mudança de base pelas coordenadas de na base :
Calculando a multiplicação:

Resposta

As coordenadas de na base são:

Exercícios relacionados

Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo, (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
Considere o sistema de equações
Discuta as posições relativas das retas quando o sistema
(a) tem somente a solução trivial e
(b) tem soluções não-triviais.
Seja V o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de V. Encontre a matriz mudança de base de para e a matriz mudança de base de para .
Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
Usando as matrizes encontradas acima, determine .