Considere as bases e de .
Encontre as coordenadas de na base . Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vetor na base e depois usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas desse vetor na base . Aqui, estamos trabalhando com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender de bases, coordenadas de vetores em uma base e como mudar de uma base para outra usando uma matriz de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que queremos escrever como uma combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Passo 4
A partir da primeira equação, já sabemos que . Vamos substituir nas outras duas equações:
Para o termo de :
Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos . Substituindo de volta na expressão para :
Passo 6
Então, os valores que encontramos são:
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 7
Agora, vamos usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas de na base . A ideia é que, se temos as coordenadas de em e temos a matriz que muda de para , podemos achar as coordenadas em .
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .
Passo 8
Para construir a matriz de mudança de base, precisamos expressar cada vetor da base 2 = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2) em termos da base 3 + 2x = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2) .
Ou seja, para cada vetor em 5 - 2x - x^2 = a(6 + 3x) + b(1 - 2x) + c(x^2 + 2x - 2) , queremos encontrar as coordenadas na base .
Vamos fazer isso para cada vetor de :
Expressar na base :
Expressar na base :
Expressar na base :
Passo 9
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar as coordenadas 2 = 6a + b - 2c + (3a - 2b + 2c)x + c x^2 , 0 = c e 0 = 3a - 2b + 2c para cada vetor.
Primeiro vetor: 2 = 6a + b - 2c
Expandindo:
3a - 2b = 0
Igualando os coeficientes:
Para 6a + b = 2 :
9a - 6b = 0
Para 6a + b = 2 :
9a - 6b + 36a + 6b = 0 + 12
Para o termo constante:
45a = 12
Como a = 1245 = 415 , temos:
6 ( 415 ) + b = 2
2415 + b = 2
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
b = 2 - 2415 = 3015 - 2415 = 615 = 25
415 25 0
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
3 + 2x = 6a + b - 2c + (3a - 2b + 2c)x + c x^2
0 = c
2 = 3a - 2b + 2c
Substituindo 3 = 6a + b - 2c na segunda equação:
3a - 2b = 2
6a + b = 3
9a - 6b = 6
Então, as coordenadas para o vetor 6a + b = 3 na base 9a - 6b + 36a + 6b = 6 + 18 são:
45a = 24
Segundo vetor: a = 2445 = 815
Expandindo:
6 ( 815 ) + b = 3
Igualando os coeficientes:
Para 4815 + b = 3 :
b = 3 - 4815 = 4515 - 4815 = -315 = -15
Para 815 -15 0 :
5 - 2x - x^2 = 6a + b - 2c + (3a - 2b + 2c)x + c x^2
Para o termo constante:
-1 = c
Como -2 = 3a - 2b + 2c , temos:
5 = 6a + b - 2c
-2 = 3a - 2b + 2(-1)
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
-2 = 3a - 2b - 2
0 = 3a - 2b
Multiplicando a segunda equa�o por 6 e somando:
5 = 6a + b - 2(-1)
5 = 6a + b + 2
3 = 6a + b
Substituindo 3a - 2b = 0 6a + b = 3 na segunda equação:
9a - 6b = 0
6a + b = 3
9a - 6b + 36a + 6b = 0 + 18
Então, as coordenadas para o vetor 45a = 18 na base a = 1845 = 25 são:
6 ( 25 ) + b = 3
Terceiro vetor: 125 + b = 3
Expandindo:
b = 3 - 125 = 155 - 125 = 35
Igualando os coeficientes:
Para 25 35 -1 :
Para :
Para o termo constante:
Substituindo :
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Passo 10
Agora, podemos montar a matriz de mudança de base Pbeta1 to beta2 = 415 & 815 & 25 25 & -15 & 35 0 & 0 & -1 usando as coordenadas que encontramos:
Passo 11
Finalmente, para encontrar as coordenadas de [v]beta2 = Pbeta1 to beta2 cdot [v]beta1 = 415 & 815 & 25 25 & -15 & 35 0 & 0 & -1 cdot 0 1 0 na base [v]beta2 = 415 cdot 0 + 815 cdot 1 + 25 cdot 0 25 cdot 0 + (-15) cdot 1 + 35 cdot 0 0 cdot 0 + 0 cdot 1 + (-1) cdot 0 = 815 -15 0 , basta multiplicar a matriz de mudança de base pelas coordenadas de na base :
Calculando a multiplicação:
Resposta
As coordenadas de [v]beta2 = 815 -15 0 na base são: