Considere as bases e de .
Encontre as coordenadas de na base . Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vetor na base e depois usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas desse vetor na base . Aqui, estamos trabalhando com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender de bases, coordenadas de vetores em uma base e como mudar de uma base para outra usando uma matriz de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que queremos escrever como uma combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Passo 4
A partir da primeira equação, já sabemos que . Vamos substituir nas outras duas equações:
Para o termo de :
Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos . Substituindo de volta na expressão para :
Passo 6
Então, os valores que encontramos são:
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 7
Agora, vamos usar a matriz de mudança de base para encontrar as coordenadas de na base . A ideia é que, se temos as coordenadas de em e temos a matriz que muda de para , podemos achar as coordenadas em .
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .
Passo 8
Para construir a matriz de mudança de base, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Ou seja, para cada vetor em , queremos encontrar as coordenadas na base .
Vamos fazer isso para cada vetor de :
Expressar na base :
Expressar na base :
Expressar na base :
Passo 9
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar as coordenadas , e para cada vetor.
Primeiro vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Como , temos:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Segundo vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Como , temos:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equa�o por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Terceiro vetor:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Substituindo :
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Multiplicando a segunda equação por 6 e somando:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas para o vetor na base são:
Passo 10
Agora, podemos montar a matriz de mudança de base usando as coordenadas que encontramos:
Passo 11
Finalmente, para encontrar as coordenadas de na base , basta multiplicar a matriz de mudança de base pelas coordenadas de na base :