Seja V o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de V. Encontre a matriz mudança de base de para e a matriz mudança de base de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases, β₁ e β₂, do espaço vetorial das matrizes 2x2 triangulares superiores. Pra isso, vamos precisar saber como representar uma base em termos da outra e usar um pouco de álgebra linear, tipo combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases β₁ e β₂:
Cada base tem três matrizes, que servem como “pilares” do nosso espaço vetorial V.

Passo 3

Vamos achar a matriz de mudança de base de β₂ para β₁, que chamaremos de . Isso significa que queremos expressar cada vetor de β₂ como uma combinação linear dos vetores de β₁.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de β₂:
Na base β₁, esse vetor já é o primeiro vetor, então sua representação é (1, 0, 0).

Passo 5

Agora, o segundo vetor de β₂:
Queremos encontrar coeficientes tais que:
Isso resulta nas equações:
Então, a representação é (1, 1, 0).

Passo 6

Por último, o terceiro vetor de β₂:
Novamente, encontramos tais que:
Isso dá:
Logo, a representação é (1, 1, 1).

Passo 7

Agora, juntamos essas representações como colunas na matriz de mudança de base :

Passo 8

Para encontrar a matriz de mudança de base de β₁ para β₂, , precisamos calcular a inversa de . Como a matriz é triangular superior e tem determinante diferente de zero (det = 1), a inversa existe e é também uma matriz triangular superior.
Calculando a inversa, temos:

Resposta

A matriz mudança de base de β₂ para β₁ é
e a matriz mudança de base de β₁ para β₂ é

Exercícios relacionados

Considere as bases e de .
Encontre as coordenadas de na base . Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de na base .
Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo, (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
Usando as matrizes encontradas acima, determine .
Dadas e , calcule , e conclua que, em geral, o determinante da soma de matrizes não é igual a soma dos determinantes.