Seja V o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de V. Encontre a matriz mudança de base de para e a matriz mudança de base de para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases, β₁ e β₂, do espaço vetorial das matrizes 2x2 triangulares superiores. Pra isso, vamos precisar saber como representar uma base em termos da outra e usar um pouco de álgebra linear, tipo combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as bases β₁ e β₂:
Cada base tem três matrizes, que servem como “pilares” do nosso espaço vetorial V.
Passo 3
Vamos achar a matriz de mudança de base de β₂ para β₁, que chamaremos de . Isso significa que queremos expressar cada vetor de β₂ como uma combinação linear dos vetores de β₁.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de β₂:
Na base β₁, esse vetor já é o primeiro vetor, então sua representação é (1, 0, 0).
Passo 5
Agora, o segundo vetor de β₂:
Queremos encontrar coeficientes tais que:
Isso resulta nas equações:
Então, a representação é (1, 1, 0).
Passo 6
Por último, o terceiro vetor de β₂:
Novamente, encontramos tais que:
Isso dá:
Logo, a representação é (1, 1, 1).
Passo 7
Agora, juntamos essas representações como colunas na matriz de mudança de base :
Passo 8
Para encontrar a matriz de mudança de base de β₁ para β₂, , precisamos calcular a inversa de . Como a matriz é triangular superior e tem determinante diferente de zero (det = 1), a inversa existe e é também uma matriz triangular superior.