Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 triangulares superiores. Sejam
beta1=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
e
beta2=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 1 & 1 0 & 1 )
duas bases de V. Encontre a matriz mudança de base de beta2 para beta1 e a matriz mudança de base de beta1 para beta2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases, β₁ e β₂, do espaço vetorial das matrizes 2x2 triangulares superiores. Pra isso, vamos precisar saber como representar uma base em termos da outra e usar um pouco de álgebra linear, tipo combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases β₁ e β₂:
beta1 = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1
beta2 = 1 & 0 0 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 1 & 1 0 & 1
Cada base tem três matrizes, que servem como “pilares” do nosso espaço vetorial V.

Passo 3

Vamos achar a matriz de mudança de base de β₂ para β₁, que chamaremos de . Isso significa que queremos expressar cada vetor de β₂ como uma combinação linear dos vetores de β₁.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de β₂:
v1 = 1 & 0 0 & 0
Na base β₁, esse vetor já é o primeiro vetor, então sua representação é (1, 0, 0).

Passo 5

Agora, o segundo vetor de β₂:
v2 = 1 & 1 0 & 0
Queremos encontrar coeficientes v2 = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 tais que:
Isso resulta nas equações:
Então, a representação é (1, 1, 0).

Passo 6

Por último, o terceiro vetor de β₂:
v3 = 1 & 1 0 & 1
Novamente, encontramos v3 = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 tais que:
Isso dá:
Logo, a representação é (1, 1, 1).

Passo 7

Agora, juntamos essas representações como colunas na matriz de mudança de base Pbeta1 beta2 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 :

Passo 8

Para encontrar a matriz de mudança de base de β₁ para β₂, Pbeta2 beta1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 , precisamos calcular a inversa de . Como a matriz é triangular superior e tem determinante diferente de zero (det = 1), a inversa existe e é também uma matriz triangular superior.
Calculando a inversa, temos:

Resposta

A matriz mudança de base de β₂ para β₁ é
Pbeta1 beta2 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
e a matriz mudança de base de β₁ para β₂ é
Pbeta2 beta1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados