Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo, (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes e operações elementares sobre linhas. Vamos usar conceitos de forma escalonada reduzida por linhas e forma escalonada por linhas para decidir se essas afirmações são sempre verdadeiras ou às vezes falsas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre forma escalonada reduzida por linhas. Quando você aplica operações elementares de linha em uma matriz para chegar nessa forma, estamos falando de uma versão simplificada onde cada linha tem um “1” líder e zeros abaixo e acima desse líder. Importante: a forma escalonada reduzida por linhas é única para qualquer matriz. Isso significa que, independentemente de como você faz as operações, sempre vai acabar com a mesma forma escalonada reduzida.
Passo 3
Agora, olhando para a primeira afirmação:
(a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
Como vimos que a forma escalonada reduzida por linhas é única, duas sequências diferentes de operações não podem levar a formas diferentes. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira, na verdade, é falsa porque as formas resultantes sempre serão iguais.
Passo 4
Em seguida, vamos falar sobre a forma escalonada por linhas (sem o “reduzida”). Essa forma não é única; diferentes sequências de operações podem levar a formas diferentes que ainda satisfazem as condições de uma forma escalonada (como ter zeros abaixo dos líderes, mas sem a exigência dos “1” líderes e zeros acima).
Passo 5
Analisando a segunda afirmação:
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
Como a forma escalonada por linhas não é única, é possível que duas sequências diferentes de operações resultem em formas escalonadas diferentes. Portanto, essa afirmação às vezes é verdadeira e às vezes é falsa, dependendo das sequências de operações usadas.
Resposta
(a) A afirmação é falsa porque a forma escalonada reduzida por linhas é única, independentemente das sequências de operações.
(b) A afirmação é falsa em geral, já que a forma escalonada por linhas pode não ser única e diferentes sequências podem levar a formas diferentes.
(b) A afirmação é falsa em geral, já que a forma escalonada por linhas pode não ser única e diferentes sequências podem levar a formas diferentes.
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