Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+3 y-5 z, x-y-z, 2 x+y+z). Sejam beta1 a base canônica de R^3 e beta2=(1,2,3),(3,2,1),(1,1,0) outra base de R^3.
Usando as matrizes encontradas acima, determine [T]beta2^beta2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares em R^3 e matrizes associadas a essas transformações em diferentes bases. Especificamente, temos uma transformação linear T definida por:
T(x, y, z) = (2x + 3y - 5z, x - y - z, 2x + y + z)
E duas bases para R^3:
  • beta1: a base canônica, que é a base padrão com vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
  • beta2: uma outra base formada pelos vetores (1,2,3), (3,2,1) e (1,1,0).
Queremos determinar a matriz de T na base beta2, ou seja, [T]beta2^beta2.
Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica, precisamos ver como os vetores da base são transformados pela função T e depois expressar esses resultados na mesma base.
Então, nosso primeiro passo é aplicar a transformação T em cada um dos vetores da base beta2.
Vamos chamar nossos vetores da base beta2 de v1 = (1,2,3), v2 = (3,2,1) e v3 = (1,1,0).
Vamos calcular T(v1), T(v2) e T(v3) usando a definição de T.

Passo 3

Vamos calcular T(v1):
T(1, 2, 3) = (2(1) + 3(2) - 5(3), 1 - 2 - 3, 2(1) + 2 + 3) = (2 + 6 - 15, 1 - 2 - 3, 2 + 2 + 3) = (-7, -4, 7)
Agora, T(v2):
T(3, 2, 1) = (2(3) + 3(2) - 5(1), 3 - 2 - 1, 2(3) + 2 + 1) = (6 + 6 - 5, 3 - 2 - 1, 6 + 2 + 1) = (7, 0, 9)
E finalmente, T(v3):
T(1, 1, 0) = (2(1) + 3(1) - 5(0), 1 - 1 - 0, 2(1) + 1 + 0) = (2 + 3 - 0, 1 - 1 - 0, 2 + 1 + 0) = (5, 0, 3)

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base beta2 pela transformação T, precisamos expressionar esses vetores resultantes novamente na base beta2.
Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem T(vi), encontrando as coordenadas de cada T(vi) em termos da base beta2.
Em outras palavras, queremos encontrar números a, b, c tais que:
T(vi) = a v1 + b v2 + c v3
Vamos fazer isso para cada T(vi).

Passo 5

Vamos começar com T(v1) = (-7, -4, 7).
Queremos encontrar a, b, c tais que:
(-7, -4, 7) = a(1,2,3) + b(3,2,1) + c(1,1,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + 3b + c = -7 2a + 2b + c = -4 3a + b = 7
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da terceira equação: 3a + b = 7 b = 7 - 3a.
Substituindo b na segunda equação:
2a + 2(7 - 3a) + c = -4 2a + 14 - 6a + c = -4 -4a + c = -18 c = 4a - 18.
Agora, substituímos b e c na primeira equação:
a + 3(7 - 3a) + (4a - 18) = -7 a + 21 - 9a + 4a - 18 = -7 (-4a) + 3 = -7 -4a = -10 a = 104 = 52.
Então, a = 52.
Substituindo em b = 7 - 3a:
b = 7 - 3(52) = 7 - 152 = 14 - 152 = -12.
E em c = 4a - 18:
c = 4(52) - 18 = 10 - 18 = -8.
Então, as coordenadas de T(v1) na base beta2 são (52, -12, -8).

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para T(v2) = (7, 0, 9).
Queremos encontrar a, b, c tais que:
(7, 0, 9) = a(1,2,3) + b(3,2,1) + c(1,1,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + 3b + c = 7 2a + 2b + c = 0 3a + b = 9
Vamos resolver esse sistema.
Da terceira equação: 3a + b = 9 b = 9 - 3a.
Substituindo b na segunda equação:
2a + 2(9 - 3a) + c = 0 2a + 18 - 6a + c = 0 -4a + c = -18 c = 4a - 18.
Agora, substituímos b e c na primeira equação:
a + 3(9 - 3a) + (4a - 18) = 7 a + 27 - 9a + 4a - 18 = 7 (-4a) + 9 = 7 -4a = -2 a = 12.
Então, a = 12.
Substituindo em b = 9 - 3a:
b = 9 - 3(12) = 9 - 32 = 18 - 32 = 152.
E em c = 4a - 18:
c = 4(12) - 18 = 2 - 18 = -16.
Então, as coordenadas de T(v2) na base beta2 são (12, 152, -16).

Passo 7

Por fim, vamos encontrar as coordenadas de T(v3) = (5, 0, 3) na base beta2.
Queremos encontrar a, b, c tais que:
(5, 0, 3) = a(1,2,3) + b(3,2,1) + c(1,1,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + 3b + c = 5 2a + 2b + c = 0 3a + b = 3
Vamos resolver esse sistema.
Da terceira equação: 3a + b = 3 b = 3 - 3a.
Substituindo b na segunda equação:
2a + 2(3 - 3a) + c = 0 2a + 6 - 6a + c = 0 -4a + c = -6 c = 4a - 6.
Agora, substituímos b e c na primeira equação:
a + 3(3 - 3a) + (4a - 6) = 5 a + 9 - 9a + 4a - 6 = 5 (-4a) + 3 = 5 -4a = 2 a = -12.
Então, a = -12.
Substituindo em b = 3 - 3a:
b = 3 - 3(-12) = 3 + 32 = 6 + 32 = 92.
E em c = 4a - 6:
c = 4(-12) - 6 = -2 - 6 = -8.
Então, as coordenadas de T(v3) na base beta2 são (-12, 92, -8).

Resposta

Com isso, a matriz da transformação T na base beta2 é:
[T]beta2^beta2 = 52 & 12 & -12 -12 & 152 & 92 -8 & -16 & -8

Exercícios relacionados