Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
Usando as matrizes encontradas acima, determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares em e matrizes associadas a essas transformações em diferentes bases. Especificamente, temos uma transformação linear definida por:
E duas bases para :
: a base canônica, que é a base padrão com vetores , e .
: uma outra base formada pelos vetores , e .
Queremos determinar a matriz de na base , ou seja, .
Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica, precisamos ver como os vetores da base são transformados pela função e depois expressar esses resultados na mesma base.
Então, nosso primeiro passo é aplicar a transformação em cada um dos vetores da base .
Vamos chamar nossos vetores da base de , e .
Vamos calcular , e usando a definição de .
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, :
E finalmente, :
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores da base pela transformação , precisamos expressionar esses vetores resultantes novamente na base .
Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem , encontrando as coordenadas de cada em termos da base .
Em outras palavras, queremos encontrar números , , tais que:
Vamos fazer isso para cada .
Passo 5
Vamos começar com .
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da terceira equação: ⇒ .
Substituindo na segunda equação:
⇒ ⇒ ⇒ .
Agora, substituímos e na primeira equação:
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .
Então, .
Substituindo em :
.
E em :
.
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para .
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Da terceira equação: ⇒ .
Substituindo na segunda equação:
⇒ ⇒ ⇒ .
Agora, substituímos e na primeira equação:
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .
Então, .
Substituindo em :
.
E em :
.
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 7
Por fim, vamos encontrar as coordenadas de na base .