Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
Usando as matrizes encontradas acima, determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares em e matrizes associadas a essas transformações em diferentes bases. Especificamente, temos uma transformação linear definida por:
E duas bases para :
  • : a base canônica, que é a base padrão com vetores , e .
  • : uma outra base formada pelos vetores , e .
Queremos determinar a matriz de na base , ou seja, .
Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica, precisamos ver como os vetores da base são transformados pela função e depois expressar esses resultados na mesma base.
Então, nosso primeiro passo é aplicar a transformação em cada um dos vetores da base .
Vamos chamar nossos vetores da base de , e .
Vamos calcular , e usando a definição de .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, :
E finalmente, :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base pela transformação , precisamos expressionar esses vetores resultantes novamente na base .
Para isso, vamos resolver sistemas lineares para cada imagem , encontrando as coordenadas de cada em termos da base .
Em outras palavras, queremos encontrar números , , tais que:
Vamos fazer isso para cada .

Passo 5

Vamos começar com .
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação:
.
Agora, substituímos e na primeira equação:
.
Então, .
Substituindo em :
.
E em :
.
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para .
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação:
.
Agora, substituímos e na primeira equação:
.
Então, .
Substituindo em :
.
E em :
.
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Por fim, vamos encontrar as coordenadas de na base .
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação:
.
Agora, substituímos e na primeira equação:
.
Então, .
Substituindo em :
.
E em :
.
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

Com isso, a matriz da transformação na base é:

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Seja V o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de V. Encontre a matriz mudança de base de para e a matriz mudança de base de para .
Considere as bases e de .
Encontre as coordenadas de na base . Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de na base .
Dadas e , calcule , e conclua que, em geral, o determinante da soma de matrizes não é igual a soma dos determinantes.
Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
A transformação é inversível? Caso seja, determine