Considere o sistema de equações
Discuta as posições relativas das retas
quando o sistema
(a) tem somente a solução trivial e
(b) tem soluções não-triviais.
(a) tem somente a solução trivial e
(b) tem soluções não-triviais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema de três equações lineares com duas incógnitas:
A gente precisa entender como essas três retas se posicionam no plano quando o sistema tem:
(a) apenas a solução trivial (isto é, e
),
(b) soluções não-triviais (ou seja, existe algum outro ponto além da origem que satisfaz todas as equações).
(a) apenas a solução trivial (isto é,
(b) soluções não-triviais (ou seja, existe algum outro ponto além da origem que satisfaz todas as equações).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de equações lineares e geometria das retas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada equação representa uma reta que passa pela origem (porque o termo independente é zero). Então, todas as três retas se cruzam no ponto (0, 0).
Agora, queremos ver como elas se posicionam além desse ponto.
Passo 3
No caso (a), o sistema tem somente a solução trivial. Isso significa que não há outro ponto além da origem onde todas as três retas se encontram. Geometricamente, isso indica que nenhuma das retas é paralela às outras e que nenhuma delas coincide com outra. Em outras palavras, as retas se cruzam apenas na origem e se espalham em direções diferentes a partir daí.
Passo 4
Já no caso (b), o sistema tem soluções não-triviais. Isso quer dizer que existe pelo menos um ponto diferente da origem onde todas as três retas se intersectam. Geometricamente, isso ocorre quando as três retas coincidem, ou seja, todas têm a mesma direção. Se todas as retas forem a mesma, então qualquer ponto nessa reta será uma solução do sistema, incluindo pontos além da origem.
Passo 5
Resumindo:
- Caso (a): As três retas se cruzam apenas na origem e cada uma segue uma direção diferente das outras. Não há interseção comum além do ponto (0, 0).
- Caso (b): As três retas coincidem, ou seja, estão na mesma direção. Assim, há infinitos pontos de interseção, não apenas a origem.
Resposta
Quando o sistema tem somente a solução trivial, as três retas se cruzam apenas na origem e cada uma segue uma direção diferente. Quando há soluções não-trivais, todas as três retas coincidem, compartilhando uma mesma direção e múltiplos pontos de interseção.