Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos dois espaços vetoriais: , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, e , que é o conjunto dos números reais. A transformação linear está definida como:
As bases dadas são:
  • para
  • para
Precisamos encontrar duas matrizes de mudança de base:
  1. Da base para a base canônica em
  2. Da base canônica para a base em
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz de mudança de base e como construí-la.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: encontrar a matriz de mudança de base de para a base canônica em .
A base canônica para é . Queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Então, precisamos escrever cada polinômio em como uma combinação linear dos polinômios em .

Passo 3

Vamos expressar cada elemento de na base canônica :
  1. Para :
Então, os coeficientes são .
  1. Para :
Então, os coeficientes são .
  1. Para :
Então, os coeficientes são .

Passo 4

Agora, colocamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base de para .
Então, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a matriz de mudança de base da base canônica para a base em .
A base canônica de é , já que é unidimensional. A base é .
Queremos encontrar como expressar o vetor da base canônica em termos da base .

Passo 6

Vamos expressar (da base canônica) em termos de .
Temos que encontrar um escalar tal que:
Resolvendo para :

Passo 7

A matriz de mudança de base de para é simplesmente esse coeficiente, já que trabalhamos com espaços de dimensão 1.
Então, a matriz é:

Resposta

A matriz de mudança de base de para a base canônica em é:
E a matriz de mudança de base da base canônica para a base em é:

Exercícios relacionados

Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
A transformação é inversível? Caso seja, determine
Dadas e , calcule , e conclua que, em geral, o determinante da soma de matrizes não é igual a soma dos determinantes.
Sejam e três bases ordenadas de .
a) Determine as seguintes matrizes mudança de base: , . Verifique que .
b) Calcule a inversa das matrizes encontradas em a). As matrizes obtidas representam quais mudanças de base?
Considere as bases e de .
Encontre a matriz de mudança da base para a base .