Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos dois espaços vetoriais: , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, e , que é o conjunto dos números reais. A transformação linear está definida como:
As bases dadas são:
para
para
Precisamos encontrar duas matrizes de mudança de base:
Da base para a base canônica em
Da base canônica para a base em
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz de mudança de base e como construí-la.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: encontrar a matriz de mudança de base de para a base canônica em .
A base canônica para é . Queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Então, precisamos escrever cada polinômio em como uma combinação linear dos polinômios em .
Passo 3
Vamos expressar cada elemento de na base canônica :
Para :
Então, os coeficientes são .
Para :
Então, os coeficientes são .
Para :
Então, os coeficientes são .
Passo 4
Agora, colocamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base de para .
Então, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a matriz de mudança de base da base canônica para a base em .
A base canônica de é , já que é unidimensional. A base é .
Queremos encontrar como expressar o vetor da base canônica em termos da base .
Passo 6
Vamos expressar (da base canônica) em termos de .
Temos que encontrar um escalar tal que:
Resolvendo para :
Passo 7
A matriz de mudança de base de para é simplesmente esse coeficiente, já que trabalhamos com espaços de dimensão 1.
Então, a matriz é:
Resposta
A matriz de mudança de base de para a base canônica em é:
E a matriz de mudança de base da base canônica para a base em é: