Seja T in L(P2, R) dada por T(p)=integral0^1 p(x) d x.
Sejam alpha=1-x, 1+x, x^2 e beta=-3 bases de P2 e R, respectivamente. Determine a matriz mudança de base em P2, da base alpha para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em R, da base canônica para a base beta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos dois espaços vetoriais: P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, e R, que é o conjunto dos números reais. A transformação linear T está definida como:
T(p) = integral0^1 p(x) , dx
As bases dadas são:
  • alpha = 1 - x, 1 + x, x^2 para P2
  • beta = -3 para R
Precisamos encontrar duas matrizes de mudança de base:
  1. Da base alpha para a base canônica em P2
  2. Da base canônica para a base beta em R
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz de mudança de base e como construí-la.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: encontrar a matriz de mudança de base de alpha para a base canônica em P2.
A base canônica para P2 é gamma = 1, x, x^2. Queremos expressar cada vetor da base alpha em termos da base gamma.
Então, precisamos escrever cada polinômio em alpha como uma combinação linear dos polinômios em gamma.

Passo 3

Vamos expressar cada elemento de alpha na base canônica gamma:
  1. Para 1 - x:
1 - x = 1 cdot 1 + (-1) cdot x + 0 cdot x^2
Então, os coeficientes são (1, -1, 0).
  1. Para 1 + x:
1 + x = 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2
Então, os coeficientes são (1, 1, 0).
  1. Para x^2:
x^2 = 0 cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2
Então, os coeficientes são (0, 0, 1).

Passo 4

Agora, colocamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base de alpha para gamma.
Então, a matriz Malpha to gamma fica assim:
Malpha to gamma = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a matriz de mudança de base da base canônica para a base beta em R.
A base canônica de R é gamma' = 1, já que R é unidimensional. A base beta é -3.
Queremos encontrar como expressar o vetor da base canônica gamma' em termos da base beta.

Passo 6

Vamos expressar 1 (da base canônica) em termos de beta = -3.
Temos que encontrar um escalar c tal que:
1 = c cdot (-3)
Resolvendo para c:
c = 1-3 = -13

Passo 7

A matriz de mudança de base de gamma' para beta é simplesmente esse coeficiente, já que trabalhamos com espaços de dimensão 1.
Então, a matriz Mgamma' to beta é:
Mgamma' to beta = -13

Resposta

A matriz de mudança de base de alpha para a base canônica em P2 é:
Malpha to gamma = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
E a matriz de mudança de base da base canônica para a base beta em R é:
Mgamma' to beta = -13

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