Qual o POLINÔMIO MINIMAL da matriz B (dada abaixo) ?
B=[rrrrr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & -6 0 & 0 & 0 & 1 & 4 ]
(A) (x+1)^4
(B) x(x-1)
© x(x-1)^2
(D) x^2(x-1)^3
(E) x^2(x-1)^2
(F) x(x-1)^3
(G) x(x-1)^4
(H) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o polinômio minimal da matriz fornecida. O polinômio minimal é o menor polinômio monico (ou seja, o coeficiente principal é 1) que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com álgebra linear, especialmente com conceitos de polinômios característicos e valores próprios.

Passo 2

Para encontrar o polinômio minimal, primeiro precisamos determinar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é uma variável. Calculando o determinante dessa matriz nos dará um polinômio que nos ajuda a identificar os valores próprios de .

Passo 3

Observando a matriz xI - B = [rrrrr x & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & x & 0 & 0 & 1 0 & -1 & x & 0 & -4 0 & 0 & -1 & x & 6 0 & 0 & 0 & -1 & x - 4 ] , vemos que ela é uma matriz superdiagonal com 1’s logo abaixo da diagonal principal e alguns elementos na última coluna. Essa estrutura facilita o cálculo do determinante. Vamos montar a matriz det(xI - B) = x(x)(x)(x)(x - 4) - (outros termos que cancelam) :
p(x) = x^5 - 4x^4
Calculando o determinante dessa matriz, obtemos o polinômio característico. Devido à estrutura triangular inferior com elementos , o determinante será:
Simplificando, obtemos:

Passo 4

Agora que temos o polinômio característico p(x) = x^4(x - 4) , podemos fatorá-lo para encontrar os fatores lineares:
O polinômio minimal deve ser o menor polinômio que anula a matriz . Observando os fatores, vemos que o polinômio minimal será aquele que contém todos os fatores distintos do polinômio característico, elevados à menor potência necessária para anular a matriz. Neste caso, como todos os blocos de Jordan têm tamanho 1, o polinômio minimal coincide com o polinômio característico.

Resposta

A resposta correta é a opção (G) .

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