Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
l B=(1,0,2),(0,1,3),(1,1,1) B^prime=(2,1,1),(1,0,0),(0,2,1) [x]B^prime=[r 1 2 -1 ]
(b) encontre a matriz de transição de B^prime para B,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (b) do exercício! Você nos deu duas bases e em e quer encontrar a matriz de transição de para . Isso significa que queremos uma matriz que converta as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Para isso, vamos precisar entender:
  • Bases em : conjuntos de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço.
  • Matriz de transição: matriz que muda as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de transição de para , denotada por , é formada colocando, como colunas, as coordenadas dos vetores de escritos na base .
Basicamente, queremos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos escrever as bases novamente para facilitar:
B = b1 = (1,0,2), b2 = (0,1,3), b3 = (1,1,1)
B' = b'1 = (2,1,1), b'2 = (1,0,0), b'3 = (0,2,1)
Nosso objetivo é encontrar, para cada b'i = a b1 + b b2 + c b3 de , os coeficientes tais que:
Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz de transição.

Passo 4

Vamos começar com (2,1,1) = a(1,0,2) + b(0,1,3) + c(1,1,1) :
a + c = 2 b + c = 1 2a + 3b + c = 1
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 2a + 3(a -1) + (2 - a) = 1 2a + 3a -3 +2 -a =1 4a -1 =1 4a =2 a = 12
Da segunda equação: c = 2 - 12 = 32 b = 12 -1 = -12
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Portanto, .

Passo 6

Repita o mesmo processo para (1,0,0) = a(1,0,2) + b(0,1,3) + c(1,1,1) :
a + c = 1 b + c = 0 2a + 3b + c = 0
Sistema de equações:
2(1 - c) + 3(-c) + c = 0 2 - 2c -3c + c =0 2 -4c =0 4c =2 c = 12
Resolvendo:
Da segunda equação: a =1 - 12 = 12 b = -12
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então:
Portanto, .

Passo 7

Agora, para (0,2,1) = a(1,0,2) + b(0,1,3) + c(1,1,1) :
a + c =0 b + c =2 2a + 3b + c =1
Sistema de equações:
2(-c) +3(2 -c) + c =1 -2c +6 -3c +c =1 -4c +6 =1 -4c = -5 c = 54
Resolvendo:
Da primeira equação: a = -54 b =2 - 54 = 34
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Então:
Portanto, .

Passo 8

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de PB' to B = 12 & 12 & -54 -12 & -12 & 34 32 & 12 & 54 na base , podemos montar a matriz de transição :

Resposta

A matriz de transição de PB' to B = 12 & 12 & -54 -12 & -12 & 34 32 & 12 & 54 para é:

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