Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
(b) encontre a matriz de transição de para ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (b) do exercício! Você nos deu duas bases e em e quer encontrar a matriz de transição de para . Isso significa que queremos uma matriz que converta as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Para isso, vamos precisar entender:
Bases em : conjuntos de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço.
Matriz de transição: matriz que muda as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de transição de para , denotada por , é formada colocando, como colunas, as coordenadas dos vetores de escritos na base .
Basicamente, queremos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos escrever as bases novamente para facilitar:
Nosso objetivo é encontrar, para cada de , os coeficientes tais que:
Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz de transição.
Passo 4
Vamos começar com :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Portanto, .
Passo 6
Repita o mesmo processo para :
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então:
Portanto, .
Passo 7
Agora, para :
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Então:
Portanto, .
Passo 8
Agora que temos as coordenadas de cada vetor de na base , podemos montar a matriz de transição :