Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
© verifique que as duas matrizes de transição são inversas uma da outra

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases e de um espaço vetorial, e queremos verificar se as matrizes de transição entre essas bases são inversas uma da outra. Para isso, vamos precisar lembrar o que são matrizes de transição e como elas funcionam entre diferentes bases.

Passo 2

As matrizes de transição são usadas para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Especificamente, a matriz de transição de para , denotada por , transforma as coordenadas de um vetor em relação à base para suas coordenadas em relação à base .

Passo 3

Para verificar se as matrizes de transição são inversas, precisamos encontrar a matriz de transição de para e a matriz de transição de para . Se multiplicarmos essas duas matrizes e obtivermos a matriz identidade, então elas são realmente inversas uma da outra.

Passo 4

Vamos construir a matriz de transição . Isso envolve expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Resolveremos sistemas lineares para encontrar as coordenadas correspondentes.

Passo 5

Depois de encontrar , faremos o mesmo para encontrar , ou seja, expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .

Passo 6

Finalmente, multiplicaremos por . Se o resultado for a matriz identidade , isso confirma que as duas matrizes de transição são inversas uma da outra.

Resposta

Após realizar as multiplicações, constatamos que . Portanto, as duas matrizes de transição são inversas uma da outra.

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(b) encontre a matriz de transição de para ,
Use a função T para encontrar:
(a) a imagem de
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(d) encontre a matriz de coordenadas , dada a matriz de coordenadas .
Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).