Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases e de um espaço vetorial, e queremos verificar se as matrizes de transição entre essas bases são inversas uma da outra. Para isso, vamos precisar lembrar o que são matrizes de transição e como elas funcionam entre diferentes bases.
Passo 2
As matrizes de transição são usadas para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Especificamente, a matriz de transição de para , denotada por , transforma as coordenadas de um vetor em relação à base para suas coordenadas em relação à base .
Passo 3
Para verificar se as matrizes de transição são inversas, precisamos encontrar a matriz de transição de para e a matriz de transição de para . Se multiplicarmos essas duas matrizes e obtivermos a matriz identidade, então elas são realmente inversas uma da outra.
Passo 4
Vamos construir a matriz de transição . Isso envolve expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Resolveremos sistemas lineares para encontrar as coordenadas correspondentes.
Passo 5
Depois de encontrar , faremos o mesmo para encontrar , ou seja, expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Passo 6
Finalmente, multiplicaremos por . Se o resultado for a matriz identidade , isso confirma que as duas matrizes de transição são inversas uma da outra.
Resposta
Após realizar as multiplicações, constatamos que . Portanto, as duas matrizes de transição são inversas uma da outra.