Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
l B=(1,0,2),(0,1,3),(1,1,1) B^prime=(2,1,1),(1,0,0),(0,2,1) [x]B^prime=[r 1 2 -1 ]
(d) encontre a matriz de coordenadas [x]B, dada a matriz de coordenadas [x]B.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas bases, e , no espaço tridimensional. Além disso, foi dada a matriz de coordenadas de um vetor em relação à base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor mas agora em relação à base . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de uma base para outra, utilizando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada base é composta por vetores que “constroem” o espaço. A base é formada pelos vetores , e . A base é formada por , e .

Passo 3

Para mudar as coordenadas de de para , precisamos encontrar a matriz de transição de para . Essa matriz, chamada de , é formada colocando as coordenadas dos vetores de escritos na base .

Passo 4

Primeiro, vamos montar a matriz das bases. A matriz formada pelos vetores de PB = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 3 & 1 é:
PB' = 2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 1 & 0 & 1
E a matriz formada pelos vetores de é:

Passo 5

A matriz de transição det(PB) = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 3) - 0 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 2) = 1(-2) + 0 + 1(-2) = -4 é dada por PB^-1 = 1det(PB) cdot adj(PB) = -14 cdot adj(PB) . Primeiro, precisamos calcular a inversa da matriz PB^-1 = 14 -2 & 1 & 1 2 & 1 & -1 3 & -1 & 1 . Vamos encontrar :
Calculando o determinante de :
Então,
Após calcular a adjugada, obtemos:

Passo 6

Agora, multiplicamos PB' to B = PB^-1 times PB' = 14 -2 & 1 & 1 2 & 1 & -1 3 & -1 & 1 times 2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 1 & 0 & 1 por PB' to B = 14 (-2 cdot 2) + (1 cdot 1) + (1 cdot 1) & (-2 cdot 1) + (1 cdot 0) + (1 cdot 0) & (-2 cdot 0) + (1 cdot 2) + (1 cdot 1) (2 cdot 2) + (1 cdot 1) + (-1 cdot 1) & (2 cdot 1) + (1 cdot 0) + (-1 cdot 0) & (2 cdot 0) + (1 cdot 2) + (-1 cdot 1) (3 cdot 2) + (-1 cdot 1) + (1 cdot 1) & (3 cdot 1) + (-1 cdot 0) + (1 cdot 0) & (3 cdot 0) + (-1 cdot 2) + (1 cdot 1) para encontrar PB' to B = 14 -4 + 1 + 1 & -2 + 0 + 0 & 0 + 2 + 1 4 + 1 -1 & 2 + 0 + 0 & 0 + 2 -1 6 -1 +1 & 3 +0 +0 & 0 -2 +1 = 14 -2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 6 & 3 & -1 :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos a matriz de transição [x]B = PB' to B times [x]B' = 14 -2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 6 & 3 & -1 times 1 2 -1 , podemos encontrar as coordenadas de [x]B = 14 (-2 cdot 1) + (-2 cdot 2) + (3 cdot -1) (4 cdot 1) + (2 cdot 2) + (1 cdot -1) (6 cdot 1) + (3 cdot 2) + (-1 cdot -1) = 14 -2 -4 -3 4 +4 -1 6 +6 +1 = 14 -9 7 13 na base multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de na base :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

Portanto, a matriz de coordenadas de [x]B = - 94 74 134 na base é:

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