Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
(d) encontre a matriz de coordenadas , dada a matriz de coordenadas .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas bases, e , no espaço tridimensional. Além disso, foi dada a matriz de coordenadas de um vetor em relação à base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor mas agora em relação à base . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de uma base para outra, utilizando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada base é composta por vetores que “constroem” o espaço. A base é formada pelos vetores , e . A base é formada por , e .
Passo 3
Para mudar as coordenadas de de para , precisamos encontrar a matriz de transição de para . Essa matriz, chamada de , é formada colocando as coordenadas dos vetores de escritos na base .
Passo 4
Primeiro, vamos montar a matriz das bases. A matriz formada pelos vetores de é:
E a matriz formada pelos vetores de é:
Passo 5
A matriz de transição é dada por . Primeiro, precisamos calcular a inversa da matriz . Vamos encontrar :
Calculando o determinante de :
Então,
Após calcular a adjugada, obtemos:
Passo 6
Agora, multiplicamos por para encontrar :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos a matriz de transição , podemos encontrar as coordenadas de na base multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de na base :