Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
(d) encontre a matriz de coordenadas , dada a matriz de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas bases, e , no espaço tridimensional. Além disso, foi dada a matriz de coordenadas de um vetor em relação à base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor mas agora em relação à base . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de uma base para outra, utilizando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada base é composta por vetores que “constroem” o espaço. A base é formada pelos vetores , e . A base é formada por , e .

Passo 3

Para mudar as coordenadas de de para , precisamos encontrar a matriz de transição de para . Essa matriz, chamada de , é formada colocando as coordenadas dos vetores de escritos na base .

Passo 4

Primeiro, vamos montar a matriz das bases. A matriz formada pelos vetores de é:
E a matriz formada pelos vetores de é:

Passo 5

A matriz de transição é dada por . Primeiro, precisamos calcular a inversa da matriz . Vamos encontrar :
Calculando o determinante de :
Então,
Após calcular a adjugada, obtemos:

Passo 6

Agora, multiplicamos por para encontrar :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos a matriz de transição , podemos encontrar as coordenadas de na base multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de na base :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

Portanto, a matriz de coordenadas de na base é:

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Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
© verifique que as duas matrizes de transição são inversas uma da outra
Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
(b) encontre a matriz de transição de para ,
Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).
Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).