Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal). x^24+x2+y^29=3 / 4

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Cônicas, que faz parte da geometria analítica. O objetivo é identificar qual tipo de cônica estamos lidando e encontrar seus elementos principais, como vértices, focos, eixos e o segmento focal. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação dada em uma forma padrão que a gente reconhece mais fácil.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação que nos foi dada:
x^24 + x2 + y^29 = 34
Primeiro, vamos reorganizar os termos para facilitar a análise:
x^24 + x2 + y^29 - 34 = 0
Agora, vamos focar nos termos de para completar o quadrado. Isso vai nos ajudar a transformar a equação em uma forma mais reconhecível.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
x^2 + 2x + 4y^29 = 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (22)^2 = 1 . Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 + 2x + 1 - 1 + 4y^29 = 3 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 1)^2 - 1 + 4y^29 = 3
Adicionamos e subtraímos esse valor na equaç��o:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
(x + 1)^2 + 4y^29 = 4
Dividindo toda a equação por 4 para obter a forma padrão:
(x + 1)^24 + y^29 = 1
Essa é a forma padrão da elipse, onde:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1

Passo 5

Comparando com a forma padrão da elipse, identificamos:
  • Centro da elipse:
  • então
  • então
Como , o eixo maior está no eixo .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior está no Vértices: (-1, 0 + 3) e (-1, 0 - 3) Rightarrow (-1, 3) e (-1, -3) , os vértices ficam a uma distância do centro ao longo do eixo :
é

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2 = raiz9 - 4 = raiz5
Então, os focos estão a uma distância Focos: (-1, 0 + raiz5) e (-1, 0 - raiz5) Rightarrow (-1, raiz5) e (-1, -raiz5) do centro ao longo do eixo :

Passo 8

Os eixos da elipse são:
  • Eixo maior: ao longo do eixo , com comprimento
  • Eixo menor: ao longo do eixo , com comprimento

Passo 9

O segmento focal é a distância entre os dois focos. Como cada foco está a 2c = 2raiz5 do centro, o segmento focal total é:

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em , vértices em e , focos em e , eixo maior de comprimento 6 ao longo do eixo , eixo menor de comprimento 4 ao longo do eixo , e segmento focal de comprimento .

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