Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual é a cônica representada pela equação e encontrar seus elementos principais, como vértices, focos, eixos e segmento focal. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as diferentes cônicas (como circunferências, parábolas, elipses e hipérboles) e entender suas características básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cônica. Cônicas são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone. Dependendo do ângulo do corte, a interseção pode resultar em diferentes formas: circunferência, parábola, elipse ou hipérbole.

Passo 3

A equação dada é . Vamos reescrever essa equação para facilitar a identificação da cônica:
Isso nos leva a:
Isso significa que a equação representa duas linhas retas: e .

Passo 4

Normalmente, uma hipérbole tem a forma padrão:
Comparando com a nossa equação , vemos que está quase na forma da hipérbole, mas igualada a zero em vez de um. Isso indica que estamos lidando com uma hipérbole degenerada.

Passo 5

Uma hipérbole degenerada ocorre quando a diferença entre os quadrados das coordenadas é zero, resultando em duas linhas retas que são os assimptotos da hipérbole. No nosso caso, as linhas e são os assimptotos da hipérbole que se “degenerou” para essas duas linhas.

Passo 6

Agora, sobre os elementos:
  • Vértices: Em uma hipérbole padrão, os vértices são os pontos mais próximos no centro. Porém, como nossa hipérbole está degenerada em linhas, não há vértices definidos.
  • Focos: Os focos são pontos internos à hipérbole, mas novamente, na versão degenerada, eles não existem.
  • Eixos: O eixo transversal seria a linha que conecta os vértices (não existem aqui) e o eixo conjugado é perpendicular a ele. No nosso caso, os próprios assimptotos atuam como eixos.
  • Segmento Focal: É a distância entre os focos, que também não existe na hipérbole degenerada.

Resposta

A equação representa uma hipérbole degenerada composta pelas duas retas e . Como �� uma hipérbole degenerada, não possui vértices, focos ou segmento focal, e os assimptotos são as próprias linhas e .

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