Considere as bases ordenadas de R^2: alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,3),(2,5) :
d) Mostre que [T]beta^beta=P^-1[T]alpha^alpha P para o operador no R^2 definido por T(x, y)=(2 y, 3 x-y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas bases ordenadas de :
  • Base - que é a base padrão.
  • Base .
O exercício nos pede para mostrar que a matriz de na base é igual a , onde é a matriz de mudança de base de para . O operador é definido por .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a matriz de mudança de base .
  2. Encontrar a matriz de na base , que é a base padrão.
  3. Calcular .
  4. Multiplicar essas matrizes conforme a fórmula .

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base P = 1 & 2 3 & 5 . Essa matriz transforma coordenadas da base para a base .
As colunas de são os vetores da base escritos na base . Como é a base padrão, os vetores de já estão nas coordenadas :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de [T]alpha^alpha = 0 & 2 3 & -1 na base , que é .
O operador é dado por .
Para encontrar a matriz, aplicamos nos vetores da base :
Assim, é a matriz cujas colunas são essas imagens:

Passo 4

Agora, precisamos calcular P = 1 & 2 3 & 5 , a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a .
A matriz det(P) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1 é:
P^-1 = 1-1 5 & -2 -3 & 1 = -5 & 2 3 & -1
Para encontrar , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz :
Onde , , , .
Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos calcular [T]alpha^alpha P = 0 & 2 3 & -1 1 & 2 3 & 5 = (0 cdot 1 + 2 cdot 3) & (0 cdot 2 + 2 cdot 5) (3 cdot 1 + (-1) cdot 3) & (3 cdot 2 + (-1) cdot 5) = 6 & 10 0 & 1 :
Primeiro, multiplicamos P^-1 [T]alpha^alpha P = -5 & 2 3 & -1 6 & 10 0 & 1 = (-5 cdot 6 + 2 cdot 0) & (-5 cdot 10 + 2 cdot 1) (3 cdot 6 + (-1) cdot 0) & (3 cdot 10 + (-1) cdot 1) = -30 & -48 18 & 29 por :
Agora, multiplicamos por esse resultado:

Resposta

Portanto, mostramos que:
[T]beta^beta = P^-1 [T]alpha^alpha P = -30 & -48 18 & 29

Exercícios relacionados