Considere as bases ordenadas de e :
d) Mostre que para o operador no definido por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas bases ordenadas de :
  • Base - que é a base padrão.
  • Base .
O exercício nos pede para mostrar que a matriz de na base é igual a , onde é a matriz de mudança de base de para . O operador é definido por .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a matriz de mudança de base .
  2. Encontrar a matriz de na base , que é a base padrão.
  3. Calcular .
  4. Multiplicar essas matrizes conforme a fórmula .

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base . Essa matriz transforma coordenadas da base para a base .
As colunas de são os vetores da base escritos na base . Como é a base padrão, os vetores de já estão nas coordenadas :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de na base , que é .
O operador é dado por .
Para encontrar a matriz, aplicamos nos vetores da base :
Assim, é a matriz cujas colunas são essas imagens:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , a inversa da matriz .
A matriz é:
Para encontrar , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz :
Onde , , , .
Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos calcular :
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos por esse resultado:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Considere as bases ordenadas de e :
b) Encontre a matriz de transição (ou mudança de base) de para
No corpo , resolva:
o sistema
Mostre que é um subanel de .
Determinar a equação da elipse cujos focos estão no eixo das ordenadas e são simétricos em relação à origem, sabendo que a distância entre seus focos é igual a 24 e que a excentricidade da elipse é .