Considere as bases ordenadas de
e
:
d) Mostre que
para o operador no
definido por
.
d) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas bases ordenadas de
:
- Base
- que é a base padrão. - Base
.
O exercício nos pede para mostrar que a matriz de
na base
é igual a
, onde
é a matriz de mudança de base de
para
. O operador
é definido por
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar a matriz de mudança de base
. - Encontrar a matriz de
na base , que é a base padrão. - Calcular
. - Multiplicar essas matrizes conforme a fórmula
.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base
. Essa matriz transforma coordenadas da base
para a base
.
As colunas de
são os vetores da base
escritos na base
. Como
é a base padrão, os vetores de
já estão nas coordenadas
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz de
na base
, que é
.
O operador
é dado por
.
Para encontrar a matriz, aplicamos
nos vetores da base
:
Assim,
é a matriz cujas colunas são essas imagens:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, a inversa da matriz
.
A matriz
é:
Para encontrar
, usamos a fórmula para a inversa de uma matriz
:
Onde
,
,
,
.
Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos
por esse resultado:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Considere as bases ordenadas de
e
:
b) Encontre a matriz de transição (ou mudança de base) de
para
b) Encontre a matriz de transição
No corpo
, resolva:
o sistema
o sistema
Mostre que
é um subanel de
.
Determinar a equação da elipse cujos focos estão no eixo das ordenadas e são simétricos em relação à origem, sabendo que a distância entre seus focos é igual a 24 e que a excentricidade da elipse é
.