Determinar a equação da elipse cujos focos estão no eixo das ordenadas e são simétricos em relação à origem, sabendo que a distância entre seus focos é igual a 24 e que a excentricidade da elipse é 1213.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre uma elipse. O enunciado diz que os focos estão no eixo das ordenadas (eixo y) e são simétricos em relação à origem. A distância entre os focos é 24 e a excentricidade é 1213. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de elipses, como a relação entre os eixos, os focos e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de c, que é a distância do centro da elipse até cada foco. A distância total entre os focos é 24, então cada foco está a metade dessa distância do centro.
c = 242 = 12

Passo 3

A excentricidade ( e) de uma elipse é dada pela relação:
e = ca
Onde a é o semi-eixo maior. Sabemos que e = 1213 e c = 12. Vamos encontrar a rearranjando a fórmula:
a = ce = 121213 = 13

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de b, que é o semi-eixo menor. A relação entre a, b e c em uma elipse é:
a^2 = b^2 + c^2
Substituindo os valores que já temos:
13^2 = b^2 + 12^2 169 = b^2 + 144 b^2 = 169 - 144 b^2 = 25 b = 5

Passo 5

Com os valores de a e b encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão no eixo das ordenadas, a elipse tem o eixo maior no eixo y. A forma padrão é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo a = 13 e b = 5:
x^225 + y^2169 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + y^2169 = 1

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