Determinar a equação da elipse cujos focos estão no eixo das ordenadas e são simétricos em relação à origem, sabendo que a distância entre seus focos é igual a 24 e que a excentricidade da elipse é .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre uma elipse. O enunciado diz que os focos estão no eixo das ordenadas (eixo y) e são simétricos em relação à origem. A distância entre os focos é 24 e a excentricidade é . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de elipses, como a relação entre os eixos, os focos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de , que é a distância do centro da elipse até cada foco. A distância total entre os focos é 24, então cada foco está a metade dessa distância do centro.
Passo 3
A excentricidade () de uma elipse é dada pela relação:
Onde é o semi-eixo maior. Sabemos que e . Vamos encontrar rearranjando a fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de , que é o semi-eixo menor. A relação entre , e em uma elipse é:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Com os valores de e encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão no eixo das ordenadas, a elipse tem o eixo maior no eixo y. A forma padrão é: