No corpo Z11, resolva:
o sistema l2 x+3 y=1 5 x-2 y=8

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de duas equações lineares no corpo Z11, que é um conjunto de números de 0 a 10 onde todas as operações são feitas módulo 11. O sistema é:
2 x + 3 y = 1 5 x - 2 y = 8
Vamos precisar resolver esse sistema usando conceitos de aritmética modular, especificamente encontrando inversos multiplicativos no Z11.

Passo 2

Para resolver o sistema, podemos usar o método de eliminação. Primeiro, precisamos eliminar uma das variáveis. Vamos tentar eliminar y. Para isso, vamos encontrar multiplicadores que igualem os coeficientes de y nas duas equações.
Na primeira equação, o coeficiente de y é 3, e na segunda é -2 (que em Z11 é equivalente a 9, já que -2 equiv 9 mod 11).

Passo 3

Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para que os coeficientes de y se tornem iguais:
2 times (2x + 3y) = 2 times 1 3 times (5x + 9y) = 3 times 8
4x + 6y = 2 15x + 27y = 24
Como estamos em Z11, simplificamos os termos maiores que 10:
4x + 6y = 2 4x + 5y = 2
(Note que 15 mod 11 = 4, 27 mod 11 = 5, e 24 mod 11 = 2)

Passo 4

Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar x:
(4x + 6y) - (4x + 5y) = 2 - 2
y = 0

Passo 5

Com y = 0, substituímos na primeira equação original para encontrar x:
2x + 3(0) = 1 mod 11
2x = 1 mod 11

Passo 6

Precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 em Z11. O inverso de 2 é o número que multiplicado por 2 dá 1 módulo 11. Testando, vemos que 2 times 6 = 12 equiv 1 mod 11. Então, multiplicamos ambos os lados da equação por 6:
x = 6 times 1 mod 11
x = 6

Resposta

A solução do sistema é x = 6 e y = 0 em Z11.

Exercícios relacionados