Mostre que é um subanel de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que é um subanel de . Isso está relacionado com álgebra, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto consiste em todos os números da forma , onde e são inteiros ( ). Por exemplo, números como ou fazem parte desse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel maior é um conjunto que, por si só, também forma um anel. Isso significa que ele precisa estar fechado sob as operações de adição e multiplicação, e conter o elemento neutro (no caso, 0).

Passo 4

Vamos verificar se satisfaz essas condições:
  1. Fechado sob adição: Se pegarmos dois elementos de , digamos e , a soma deles será . Como e são inteiros, a soma também está em .
  2. Fechado sob multiplicação: Multiplicando por , temos:
    Sabendo que , isso fica:
    Novamente, e são inteiros, então o produto está em .
  3. Contém o elemento neutro: O número pode ser escrito como , que está em .

Passo 5

Além disso, está contido em porque todos os seus elementos são números reais (já que é real e a combinação linear com inteiros também é real).

Passo 6

Como satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel de , concluímos que realmente é um subanel.

Resposta

Portanto, é de fato um subanel de .

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