Mostre que Z[raiz3] é um subanel de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que Z[raiz3] é um subanel de R. Isso está relacionado com álgebra, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se Z[raiz3] satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel de R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Z[raiz3]. Esse conjunto consiste em todos os números da forma a + braiz3, onde a e b são inteiros ( a, b in Z). Por exemplo, números como 2 + 3raiz3 ou -1 + raiz3 fazem parte desse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel maior é um conjunto que, por si só, também forma um anel. Isso significa que ele precisa estar fechado sob as operações de adição e multiplicação, e conter o elemento neutro (no caso, 0).

Passo 4

Vamos verificar se Z[raiz3] satisfaz essas condições:
  1. Fechado sob adição: Se pegarmos dois elementos de Z[raiz3], digamos a + braiz3 e c + draiz3, a soma deles será (a + c) + (b + d)raiz3. Como a + c e b + d são inteiros, a soma também está em Z[raiz3].
  2. Fechado sob multiplicação: Multiplicando a + braiz3 por c + draiz3, temos:
    (a + braiz3)(c + draiz3) = ac + (ad + bc)raiz3 + bd(raiz3)^2
    Sabendo que (raiz3)^2 = 3, isso fica:
    ac + (ad + bc)raiz3 + 3bd = (ac + 3bd) + (ad + bc)raiz3
    Novamente, ac + 3bd e ad + bc são inteiros, então o produto está em Z[raiz3].
  3. Contém o elemento neutro: O número 0 pode ser escrito como 0 + 0raiz3, que está em Z[raiz3].

Passo 5

Além disso, Z[raiz3] está contido em R porque todos os seus elementos são números reais (já que raiz3 é real e a combinação linear com inteiros também é real).

Passo 6

Como Z[raiz3] satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel de R, concluímos que realmente é um subanel.

Resposta

Portanto, Z[raiz3] é de fato um subanel de R.

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