Mostre que
é um subanel de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que
é um subanel de
. Isso está relacionado com álgebra, especificamente com anéis e subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto consiste em todos os números da forma
, onde
e
são inteiros (
). Por exemplo, números como
ou
fazem parte desse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel maior é um conjunto que, por si só, também forma um anel. Isso significa que ele precisa estar fechado sob as operações de adição e multiplicação, e conter o elemento neutro (no caso, 0).
Passo 4
Vamos verificar se
satisfaz essas condições:
-
Fechado sob adição: Se pegarmos dois elementos de
, digamos e , a soma deles será . Como e são inteiros, a soma também está em . -
Fechado sob multiplicação: Multiplicando
por , temos: Sabendo que, isso fica: Novamente,e são inteiros, então o produto está em . -
Contém o elemento neutro: O número
pode ser escrito como , que está em .
Passo 5
Além disso,
está contido em
porque todos os seus elementos são números reais (já que
é real e a combinação linear com inteiros também é real).
Passo 6
Como
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel de
, concluímos que realmente é um subanel.
Resposta
Portanto,
é de fato um subanel de
.