Se
é uma matriz quadrada, e se o sistema linear
tem uma única solução, então o sistema linear
também tem uma única solução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma matriz quadrada
e sabemos que o sistema linear
possui uma única solução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para esse vetor
, então para qualquer outro vetor
, o sistema
também terá uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis e sistemas lineares.
Passo 2
Quando dizemos que o sistema
tem uma única solução, isso implica que a matriz
é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existir outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
A invertibilidade de
também significa que o determinante de
é diferente de zero (
). Se o determinante fosse zero, a matriz não seria invertível e o sistema poderia ter infinitas soluções ou nenhuma.
Passo 4
Agora, se
é invertível, podemos resolver qualquer sistema da forma
multiplicando ambos os lados pela inversa de
:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 5
A expressão
nos mostra que existe exatamente uma solução para o sistema
, pois estamos multiplicando o vetor
por uma matriz invertível única.
Resposta
Portanto, se o sistema
possui uma única solução e
é uma matriz quadrada invertível, então para qualquer vetor
, o sistema
também terá uma única solução dada por
.