Se é uma matriz quadrada, e se o sistema linear tem uma única solução, então o sistema linear também tem uma única solução.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma matriz quadrada e sabemos que o sistema linear possui uma única solução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para esse vetor , então para qualquer outro vetor , o sistema também terá uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis e sistemas lineares.

Passo 2

Quando dizemos que o sistema tem uma única solução, isso implica que a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existir outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

A invertibilidade de também significa que o determinante de é diferente de zero ( ). Se o determinante fosse zero, a matriz não seria invertível e o sistema poderia ter infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 4

Agora, se é invertível, podemos resolver qualquer sistema da forma multiplicando ambos os lados pela inversa de :
Isso simplifica para:
Ou seja:

Passo 5

A expressão nos mostra que existe exatamente uma solução para o sistema , pois estamos multiplicando o vetor por uma matriz invertível única.

Resposta

Portanto, se o sistema possui uma única solução e é uma matriz quadrada invertível, então para qualquer vetor , o sistema também terá uma única solução dada por .

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Dê um exemplo de uma transformação linear não diagonalizável com polinômio característico .
Seja uma base de . Encontre as coordenadas dos vetor na base .
Seja . Determine se a sequência é convergente.
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(b) Se , encontre .