Considere as bases ordenadas de R^2: alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,3),(2,5) :
a) Encontre a matriz de transição P (ou mudança de base) de alpha para beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a matriz de transição da base para a base em . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como representar os vetores de uma base antiga na nova base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Aqui, queremos converter os vetores da base para a base .

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base e1 = a cdot (1,3) + b cdot (2,5) de e2 = c cdot (1,3) + d cdot (2,5) e . Nosso objetivo é expressar esses vetores em termos da base , ou seja, encontrar coeficientes e tais que:
e

Passo 4

Vamos resolver para (1,0) = a cdot (1,3) + b cdot (2,5) :
1 = a cdot 1 + b cdot 2 0 = a cdot 3 + b cdot 5
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
0 = 3a + 5b implies 3a = -5b implies a = -53b
Substituindo na primeira equação:
1 = (-53b) + 2b = (-53 + 2)b = (-53 + 63)b = 13b
Então:
13b = 1 implies b = 3
E:
a = -53 cdot 3 = -5

Passo 6

Portanto, temos que:
e1 = -5 cdot (1,3) + 3 cdot (2,5)
O que nos dá as coordenadas de -5 3 na base : .

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para (0,1) = c cdot (1,3) + d cdot (2,5) :
0 = c cdot 1 + d cdot 2 1 = c cdot 3 + d cdot 5
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
0 = c + 2d implies c = -2d
Substituindo na segunda equação:
1 = 3(-2d) + 5d = -6d + 5d = -d
Então:
-d = 1 implies d = -1
E:
c = -2 cdot (-1) = 2

Passo 9

Portanto, temos que:
e2 = 2 cdot (1,3) -1 cdot (2,5)
O que nos dá as coordenadas de 2 -1 na base : .

Resposta

A matriz de transição P = -5 & 2 3 & -1 de para é:

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