Considere as bases ordenadas de e :
a) Encontre a matriz de transição (ou mudança de base) de para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a matriz de transição da base para a base em . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como representar os vetores de uma base antiga na nova base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Aqui, queremos converter os vetores da base para a base .

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base de e . Nosso objetivo é expressar esses vetores em termos da base , ou seja, encontrar coeficientes e tais que:
e

Passo 4

Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
E:

Passo 6

Portanto, temos que:
O que nos dá as coordenadas de na base : .

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para :
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
E:

Passo 9

Portanto, temos que:
O que nos dá as coordenadas de na base : .

Resposta

A matriz de transição de para é:

Exercícios relacionados

Mostre que conjunto não é um subanel de .
O vetor pertence ao subespaço gerado por e
No corpo , resolva:
o sistema
Considere as bases ordenadas de e :
b) Encontre a matriz de transição (ou mudança de base) de para