Mostre que conjunto
não é um subanel de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos mostrar que ele não é um subanel de
. Aqui, estamos trabalhando com números racionais (
) e queremos verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel, que basicamente precisa ser fechado tanto na adição quanto na multiplicação e conter o elemento neutro.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser um subanel. Um subanel de um anel
precisa:
- Contém o elemento neutro de
(no caso, 0). - É fechado sob adição e subtração.
- É fechado sob multiplicação.
Vamos verificar essas propriedades para
.
Passo 3
Primeiro, verificamos o elemento neutro. Se colocarmos
e
, temos
, que está em
. Então,
contém o elemento neutro.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de
, digamos
e
, sua soma é
. Como
e
são inteiros, a soma também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
Porém, o ponto crucial é a multiplicação. Vamos multiplicar dois elementos de
:
.
Passo 6
Para que
seja fechado sob multiplicação, o resultado dessa multiplicação deveria estar de volta em
, ou seja, na forma
com
. Porém, o termo
não é necessariamente um múltiplo de
, a menos que
seja múltiplo de 5.
Passo 7
Por exemplo, se escolhermos
, temos:
,
que não está na forma , pois
não pode ser simplificado para um múltiplo de
com
inteiro.
que não está na forma
Resposta
Portanto, como o conjunto
não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de
.
Exercícios relacionados
O vetor
pertence ao subespaço gerado por
e
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(a) .
(a)
Considere as bases ordenadas de
e
:
a) Encontre a matriz de transição (ou mudança de base) de
para
a) Encontre a matriz de transição
No corpo
, resolva:
o sistema
o sistema