Mostre que conjunto não é um subanel de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos mostrar que ele não é um subanel de . Aqui, estamos trabalhando com números racionais ( ) e queremos verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel, que basicamente precisa ser fechado tanto na adição quanto na multiplicação e conter o elemento neutro.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser um subanel. Um subanel de um anel precisa:
  1. Contém o elemento neutro de (no caso, 0).
  2. É fechado sob adição e subtração.
  3. É fechado sob multiplicação.
Vamos verificar essas propriedades para .

Passo 3

Primeiro, verificamos o elemento neutro. Se colocarmos e , temos , que está em . Então, contém o elemento neutro.

Passo 4

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de , digamos e , sua soma é . Como e são inteiros, a soma também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

Porém, o ponto crucial é a multiplicação. Vamos multiplicar dois elementos de : .

Passo 6

Para que seja fechado sob multiplicação, o resultado dessa multiplicação deveria estar de volta em , ou seja, na forma com . Porém, o termo não é necessariamente um múltiplo de , a menos que seja múltiplo de 5.

Passo 7

Por exemplo, se escolhermos , temos:
,
que não está na forma , pois não pode ser simplificado para um múltiplo de com inteiro.

Resposta

Portanto, como o conjunto não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de .

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