O vetor w=(1,-1,2) pertence ao subespaço gerado por u=(1,2,3) e v=(3,2,1) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor e queremos saber se ele pertence ao espaço gerado pelos vetores e . Isso significa que precisamos verificar se existe uma combinação linear dos vetores e que resulte no vetor . Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares e combinações lineares.

Passo 2

Vamos representar a combinação linear dos vetores c1 cdot (1, 2, 3) + c2 cdot (3, 2, 1) = (1, -1, 2) e como , onde e são escalares que precisamos encontrar. Substituindo os valores, temos:

Passo 3

Isso resulta em um sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 3 = 1 c1 cdot 2 + c2 cdot 2 = -1 c1 cdot 3 + c2 cdot 1 = 2

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Começamos pela primeira equação:
c1 + 3c2 = 1 Rightarrow c1 = 1 - 3c2

Passo 5

Substituímos 2(1 - 3c2) + 2c2 = -1 2 - 6c2 + 2c2 = -1 -4c2 = -3 c2 = 34 na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos c1 = 1 - 3(34) = 1 - 94 = -54 na expressão de :

Passo 7

Finalmente, verificamos na terceira equação para confirmar:
3(-54) + 34 = -154 + 34 = -124 = -3 neq 2
Isso indica que não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

O vetor não pertence ao subespaço gerado por e .

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