Determine, justificando sua resposta, as equações paramétricas da reta r , interseção dos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta
, que é a interseção dos dois planos dados:
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a interseção de planos, que resulta em uma reta. Vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar as equações paramétricas da reta
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o sistema de equações com as duas equações dos planos:
Nosso objetivo é encontrar valores de
,
e
que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos escolher eliminar
. Para isso, ajustamos os coeficientes de
nas duas equações para que sejam múltiplos:
Multiplicamos a equação (1) por 2:
Multiplicamos a equação (2) por 4:
Agora, somamos as equações (3) e (4) para eliminar
:
Simplificando:
Agora temos uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em termos de um parâmetro. Vamos escolher
, onde
é um parâmetro real. Agora, usando a relação
, vamos substituir em uma das equações originais para encontrar
em termos de
.
Vamos usar a equação (1):
Simplificando:
Isolando
:
Agora temos
e
.
Resposta
As equações paramétricas da reta
são: