Determine, justificando sua resposta, as equações paramétricas da reta r , interseção dos planos pi1: 5 x-3 y+4 z=0 e pi2:-7 x+5 x-2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta pi1: 5x - 3y + 4z = 0 , que é a interseção dos dois planos dados:
pi2: -7x + 5y - 2z = 0
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a interseção de planos, que resulta em uma reta. Vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar as equações paramétricas da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos montar o sistema de equações com as duas equações dos planos:
5x - 3y + 4z = 0 (1) -7x + 5y - 2z = 0 (2)
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos escolher eliminar 2 times (5x - 3y + 4z) = 0 Rightarrow 10x - 6y + 8z = 0 (3) . Para isso, ajustamos os coeficientes de 4 times (-7x + 5y - 2z) = 0 Rightarrow -28x + 20y - 8z = 0 (4) nas duas equações para que sejam múltiplos:
Multiplicamos a equação (1) por 2:
(10x - 6y + 8z) + (-28x + 20y - 8z) = 0 Rightarrow -18x + 14y = 0
Multiplicamos a equação (2) por 4:
-18x + 14y = 0 Rightarrow 9x = 7y Rightarrow y = 97x
Agora, somamos as equações (3) e (4) para eliminar :
Simplificando:
Agora temos uma relação entre e .

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em termos de um parâmetro. Vamos escolher 5x - 3(97x) + 4t = 0 , onde 5x - 277x + 4t = 0 Rightarrow (5 - 277)x + 4t = 0 é um parâmetro real. Agora, usando a relação (357 - 277)x + 4t = 0 Rightarrow 87x + 4t = 0 , vamos substituir em uma das equações originais para encontrar 87x = -4t Rightarrow x = -4t times 78 = -288t = -72t em termos de .
Vamos usar a equação (1):
Simplificando:
Isolando :
Agora temos e .

Resposta

As equações paramétricas da reta x = -dfrac72t y = -dfrac92t z = t onde t in R são:

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