No espaço vetorial usual (P2,+, cdot), escreva o vetor 1+t+t^2 como combinação linear dos vetores u=1+t, v=1-t+t^2 e w=1-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e no espaço vetorial . Isso envolve entender conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que vão multiplicar cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que queremos escrever 1 + t + t^2 = a cdot u + b cdot v + c cdot w como uma combinação desses vetores. Isso significa que queremos encontrar números 1 + t + t^2 = a cdot (1 + t) + b cdot (1 - t + t^2) + c cdot (1 - t^2) , e tais que:
Substituindo os vetores , e , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão do lado direito para facilitar a comparação com o lado esquerdo:
a cdot (1 + t) = a + a t
b cdot (1 - t + t^2) = b - b t + b t^2
c cdot (1 - t^2) = c - c t^2
Juntando tudo:
1 + t + t^2 = (a + b + c) + (a - b) t + (b - c) t^2

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
a + b + c = 1 a - b = 1 b - c = 1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo:
  1. Da segunda equação: (b + 1) + b + (b - 1) = 1 3b = 1 b = 13 a = 13 + 1 = 43 c = 13 - 1 = -23
  2. Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Agora, encontramos e :

Resposta

Portanto, a combinação linear é:
1 + t + t^2 = 43 cdot u + 13 cdot v - 23 cdot w

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