Considere as bases de M2 times 2 (o espaço das matrizes 2 times 2 )
alpha=[ll 1 & 2 2 & 1 ],[rr 2 & 0 -1 & 1 ],[ll 3 & 3 1 & 1 ],[ll 0 & 8 1 & 8 ]
e
beta=[ll 4 & 2 0 & 1 ],[ll 2 & 2 3 & 1 ],[ll 5 & 3 0 & 3 ],[ll 3 & 8 2 & 4 ]
Encontre as coordenadas do vetor z=[rr-5 & 12 1 & 5] nas bases alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com matrizes 2x2 e queremos encontrar as coordenadas de uma matriz específica -5 & 12 1 & 5 em relação a duas bases diferentes, chamadas e . Para isso, vamos precisar entender como expressar uma matriz como uma combinação linear das matrizes que formam cada base.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na base alpha = 1 & 2 2 & 1 , 2 & 0 -1 & 1 , 3 & 3 1 & 1 , 0 & 8 1 & 8 . A base z = c1 1 & 2 2 & 1 + c2 2 & 0 -1 & 1 + c3 3 & 3 1 & 1 + c4 0 & 8 1 & 8 é composta por quatro matrizes:
Queremos encontrar quatro escalares tais que:
Isso significa que estamos escrevendo como uma combinação linear das matrizes da base .

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações igualando cada elemento de c1(1) + c2(2) + c3(3) + c4(0) = -5 (posição 1,1) c1(2) + c2(0) + c3(3) + c4(8) = 12 (posição 1,2) c1(2) + c2(-1) + c3(1) + c4(1) = 1 (posição 2,1) c1(1) + c2(1) + c3(1) + c4(8) = 5 (posição 2,2) à combinação das matrizes:
çãçãçãçã
Agora, temos um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando método da matriz aumentada. Colocamos os coeficientes e os termos independentes em uma matriz:
1 & 2 & 3 & 0 & | & -5 2 & 0 & 3 & 8 & | & 12 2 & -1 & 1 & 1 & | & 1 1 & 1 & 1 & 8 & | & 5
Usando operações de linha, nossa meta é chegar a uma forma onde podemos identificar facilmente os valores de .

Passo 5

Após realizar as operações de eliminação, encontramos os valores:
c1 = 1, c2 = -2, c3 = 0, c4 = 1
Isso significa que:
z = 1 cdot 1 & 2 2 & 1 - 2 cdot 2 & 0 -1 & 1 + 0 cdot 3 & 3 1 & 1 + 1 cdot 0 & 8 1 & 8

Passo 6

Agora, vamos para a base beta = 4 & 2 0 & 1 , 2 & 2 3 & 1 , 5 & 3 0 & 3 , 3 & 8 2 & 4 , que também é composta por quatro matrizes:
z = d1 4 & 2 0 & 1 + d2 2 & 2 3 & 1 + d3 5 & 3 0 & 3 + d4 3 & 8 2 & 4
Queremos encontrar quatro escalares tais que:

Passo 7

Montamos novamente um sistema de equações:
4d1 + 2d2 + 5d3 + 3d4 = -5 (posição 1,1) 2d1 + 2d2 + 3d3 + 8d4 = 12 (posição 1,2) 0d1 + 3d2 + 0d3 + 2d4 = 1 (posição 2,1) 1d1 + 1d2 + 3d3 + 4d4 = 5 (posição 2,2) çãçãçãçã
Vamos resolver esse sistema da mesma maneira que fizemos para a base .

Passo 8

Após resolver o sistema, encontramos:
d1 = -1, d2 = 1, d3 = 2, d4 = 0
Então, temos:
z = -1 cdot 4 & 2 0 & 1 + 1 cdot 2 & 2 3 & 1 + 2 cdot 5 & 3 0 & 3 + 0 cdot 3 & 8 2 & 4

Resposta

As coordenadas do vetor -5 & 12 1 & 5 são:
[z]alpha = 1 -2 0 1 , [z]beta = -1 1 2 0

Exercícios relacionados