Beleza, vamos lá! Temos dois vetores e no espaço tridimensional . Além disso, temos dois subespaços:
: Esse é um plano no onde a terceira coordenada é sempre zero.
: Esse é o subespaço gerado pelos vetores e .
Queremos descobrir as dimensões de e de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soma e interseção de subespaços, além do teorema da dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . A dimensão desse espaço pode ser encontrada usando a fórmula:
Mas, para usar essa fórmula, precisamos encontrar , e .
Passo 3
Vamos começar encontrando as dimensões individuais:
é definido por dois parâmetros e , então .
é o subespaço gerado por dois vetores e . Para saber a dimensão, precisamos verificar se eles são lineares independentes. Se forem, ; se não, .
Vamos verificar a independência linear de e .
Passo 4
Para verificar se e são linearmente independentes, montamos a equação:
Isso dá:
Que se traduz em:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo em : .
Como a única solução é trivial (), os vetores são linearmente independentes. Logo, .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar b1 v1 + b2 v2 = b1 123 + b2 102 = b1 + b22b13b1 + 2b2 . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em 3b1 + 2b2 = 0 quanto em .
Um vetor em tem a forma .
Um vetor em é uma combinação linear de e :
Para que esse vetor também esteja em , a terceira coordenada deve ser zero: