Sejam v1=(1,2,3), v2=(1,0,2) vetores de R^3. Considere os subespaços de R^3
U=(a1, a2, 0) mid a1, a2 in R e W=[v1, v2]
Determine dim(U+W) e dim(U cap W)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores e no espaço tridimensional . Além disso, temos dois subespaços:
  • : Esse é um plano no onde a terceira coordenada é sempre zero.
  • : Esse é o subespaço gerado pelos vetores e .
Queremos descobrir as dimensões de e de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soma e interseção de subespaços, além do teorema da dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) . É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . A dimensão desse espaço pode ser encontrada usando a fórmula:
Mas, para usar essa fórmula, precisamos encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando as dimensões individuais:
  • é definido por dois parâmetros e , então .
  • é o subespaço gerado por dois vetores e . Para saber a dimensão, precisamos verificar se eles são lineares independentes. Se forem, ; se não, .
Vamos verificar a independência linear de e .

Passo 4

Para verificar se c1 v1 + c2 v2 = 0 e c1 123 + c2 102 = 000 são linearmente independentes, montamos a equação:
c1 + c2 = 0 2c1 + 0c2 = 0 3c1 + 2c2 = 0
Isso dá:
Que se traduz em:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo em : .
Como a única solução é trivial ( ), os vetores são linearmente independentes. Logo, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar b1 v1 + b2 v2 = b1 123 + b2 102 = b1 + b22b13b1 + 2b2 . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em 3b1 + 2b2 = 0 quanto em .
Um vetor em tem a forma .
Um vetor em é uma combinação linear de e :
Para que esse vetor também esteja em , a terceira coordenada deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar e .

Passo 6

A equação é:
3b1 + 2b2 = 0 Rightarrow b2 = -32 b1
Então, podemos expressar o vetor em b1 v1 + b2 v2 = b1 123 - 32b1 102 = b1 1 - 322 - 03 - 3 = b1 -1220 como:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo de , ou seja, é uma linha. Portanto, .

Passo 7

Agora que temos todas as dimensões necessárias, podemos usar a fórmula da dimensão da soma dos subespaços:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) = 2 + 2 - 1 = 3

Resposta

dim(U + W) = 3 e dim(U cap W) = 1

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