Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjunto
de todos os polinômios com coeficientes reais com as operações usuais de adiąão e multiplicaąão por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se determinados conjuntos, com operações específicas, são ou não espaços vetoriais sobre os números reais. O conjunto em questão é 𝒫, que representa todos os polinômios com coeficientes reais. As operações que vamos usar são a adição de polinômios e a multiplicação por escalar (ou seja, multiplicar um polinômio por um número real). Para resolver isso, vamos revisar o que é um espaço vetorial e checar se 𝒫 satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar, e que essas operações seguem certas regras. Essas regras garantem que a estrutura seja bem comportada e que possamos realizar operações de forma consistente.
Passo 3
As principais propriedades que precisamos checar para confirmar se 𝒫 é um espaço vetorial são:
- Fechamento na adição: Se você pegar dois polinômios de 𝒫 e somar, o resultado também deve estar em 𝒫.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio de 𝒫 e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar em 𝒫.
- Existência do elemento zero: Deve existir um polinômio zero em 𝒫 que, quando somado a qualquer polinômio, não altera ele.
- Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio em 𝒫, deve existir outro polinômio que, quando somados, resultam no polinômio zero.
- Associatividade e comutatividade da adição: A ordem e o agrupamento na soma não alteram o resultado.
- Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios e sobre a adição de escalares.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto 𝒫:
-
Fechamento na adição: Se você somar dois polinômios quaisquer, o resultado será outro polinômio com coeficientes reais. Por exemplo, se
e , então , que ainda é um polinômio em 𝒫. Portanto, a adição está fechada. -
Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um polinômio por um número real também resulta em um polinômio com coeficientes reais. Por exemplo, se
e multiplicamos por 5, temos , que está em 𝒫. Então, a multiplicação por escalar está fechada. -
Existência do elemento zero: O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero. Ou seja,
. Esse polinômio está em 𝒫 e, ao somar qualquer polinômio com ele, o resultado é o próprio polinômio, por exemplo, . -
Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio
, existe um polinômio tal que . Isso significa que se você tem , então , e somando dá o polinômio zero. -
Associatividade e comutatividade da adição:
- Associatividade:
. A ordem de como somamos não muda o resultado. - Comutatividade:
. A ordem dos polinômios na soma não altera o resultado.
- Associatividade:
-
Distributividade:
- Distribuição do escalar sobre a adição de polinômios:
. - Distribuição sobre a adição de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação de escalares:
.
- Distribuição do escalar sobre a adição de polinômios:
Todas essas propriedades são satisfeitas pelos polinômios com operações usuais.
Resposta
Sim, o conjunto 𝒫 de todos os polinômios com coeficientes reais, juntamente com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial real.