Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjunto P de todos os polinômios com coeficientes reais com as operações usuais de adiąão e multiplicaąão por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se determinados conjuntos, com operações específicas, são ou não espaços vetoriais sobre os números reais. O conjunto em questão é 𝒫, que representa todos os polinômios com coeficientes reais. As operações que vamos usar são a adição de polinômios e a multiplicação por escalar (ou seja, multiplicar um polinômio por um número real). Para resolver isso, vamos revisar o que é um espaço vetorial e checar se 𝒫 satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar, e que essas operações seguem certas regras. Essas regras garantem que a estrutura seja bem comportada e que possamos realizar operações de forma consistente.

Passo 3

As principais propriedades que precisamos checar para confirmar se 𝒫 é um espaço vetorial são:
  1. Fechamento na adição: Se você pegar dois polinômios de 𝒫 e somar, o resultado também deve estar em 𝒫.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio de 𝒫 e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar em 𝒫.
  3. Existência do elemento zero: Deve existir um polinômio zero em 𝒫 que, quando somado a qualquer polinômio, não altera ele.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio em 𝒫, deve existir outro polinômio que, quando somados, resultam no polinômio zero.
  5. Associatividade e comutatividade da adição: A ordem e o agrupamento na soma não alteram o resultado.
  6. Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios e sobre a adição de escalares.

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto 𝒫:
  1. Fechamento na adição: Se você somar dois polinômios quaisquer, o resultado será outro polinômio com coeficientes reais. Por exemplo, se e , então , que ainda é um polinômio em 𝒫. Portanto, a adição está fechada.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um polinômio por um número real também resulta em um polinômio com coeficientes reais. Por exemplo, se e multiplicamos por 5, temos , que está em 𝒫. Então, a multiplicação por escalar está fechada.
  3. Existência do elemento zero: O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, . Esse polinômio está em 𝒫 e, ao somar qualquer polinômio com ele, o resultado é o próprio polinômio, por exemplo, .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio , existe um polinômio tal que . Isso significa que se você tem , então , e somando dá o polinômio zero.
  5. Associatividade e comutatividade da adição:
    • Associatividade: . A ordem de como somamos não muda o resultado.
    • Comutatividade: . A ordem dos polinômios na soma não altera o resultado.
  6. Distributividade:
    • Distribuição do escalar sobre a adição de polinômios: .
    • Distribuição sobre a adição de escalares: .
    • Compatibilidade da multiplicação de escalares: .
Todas essas propriedades são satisfeitas pelos polinômios com operações usuais.

Resposta

Sim, o conjunto 𝒫 de todos os polinômios com coeficientes reais, juntamente com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial real.

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