Dados os pontos A=(1 ; 1), B=(3 ; 4) e C=(4 ; 2), determine os possíveis pontos D tais que A, B, C e D sejam os vértices de um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem três pontos no plano: , e . Nosso objetivo é encontrar os possíveis pontos de modo que os quatro pontos formem os vértices de um paralelogramo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as propriedades dos paralelogramos e como calcular coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, lembra como é que um paralelogramo funciona? Em um paralelogramo, os lados opostos são iguais em comprimento e paralelos. Isso significa que o vetor que vai de a deve ser igual ao vetor que vai de a , ou seja, . Alternativamente, também podemos dizer que .

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = (3 - 1, 4 - 1) = (2, 3) . Para isso, subtraímos as coordenadas de D = C - AB = (4, 2) - (2, 3) = (2, -1) das coordenadas de :
Agora, sabemos que . Para encontrar , vamos rearranjar essa equação:

Passo 4

Mas tem mais uma possibilidade! Podemos também igualar BC = (4 - 3, 2 - 4) = (1, -2) . Primeiro, calculamos D = A + BC = (1, 1) + (1, -2) = (2, -1) :
Então,

Passo 5

Ops, parece que chegamos no mesmo ponto D = A + C - B = (1, 1) + (4, 2) - (3, 4) = (2, -1) pelas duas abordagens. Mas na verdade, há uma outra forma de construir o paralelogramo indo de até e refletindo isso em relação a . Vamos tentar:
De novo, chegamos no mesmo ponto .

Resposta

O ponto que faz com que , , e formem um paralelogramo é .

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