O que significa dizer que um vetor v é um autovetor de um operador linear T ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre o significado de um vetor ser um autovetor de um operador linear . Para resolver isso, precisamos saber o que é um operador linear, o que é um autovetor e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo), respeitando duas propriedades importantes:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que o operador linear “preserva” a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Um autovetor T(v) = lambda v de um operador linear é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um escalar . Esse escalar é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .
Matematicamente, isso é representado por:
Aqui:
  • é o operador linear aplicado ao vetor .
  • é o autovalor.
  • é o autovetor.

Passo 4

Vamos detalhar o que essa equação significa:
  • Quando aplicamos em , ao invés de mudar a direção de para outro vetor, o resultado é o próprio vetor escalado por .
  • Se , o vetor é esticado.
  • Se , o vetor é encurtado.
  • Se , o vetor permanece inalterado.
  • Se , o vetor é mapeado para o vetor nulo.

Passo 5

Identificar autovetores e autovalores de um operador linear é útil porque eles nos dão informações sobre as direções principais em que o operador atua, facilitando a compreensão e a simplificação de problemas complexos, como na diagonalização de matrizes e na resolução de sistemas lineares.

Resposta

Dizer que um vetor é um autovetor de um operador linear significa que, ao aplicar em , o resultado é o próprio vetor multiplicado por um escalar , ou seja, . Isso indica que mantém sua direção após a aplicação de , sendo escalado por .

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