Como determinar se um operador linear é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é: Como determinar se um operador linear é diagonalizável? Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios), além de conceitos sobre multiplicidade algébrica e geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear diagonalizável. Um operador linear é considerado diagonalizável se ele puder ser representado por uma matriz diagonal em alguma base. Isso significa que existe uma base formada por autovetores desse operador. Em termos mais simples, a matriz do operador tem zeros fora da diagonal principal quando usamos essa base.
Passo 3
Para verificar se um operador é diagonalizável, o primeiro passo é encontrar os autovalores do operador. Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde
é a matriz do operador,
é o autovalor, e
é a matriz identidade.
Passo 4
Depois de encontrar os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada autovalor
, resolvemos a equação:
onde
é o autovetor.
Passo 5
Agora, vamos analisar as multiplicidades. Cada autovalor tem duas multiplicidades importantes:
- Multiplicidade Algébrica: Quantas vezes o autovalor
aparece como raiz da equação característica. - Multiplicidade Geométrica: A dimensão do espaço de autovetores associados a
, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes correspondentes a .
Passo 6
O teorema fundamental nos diz que um operador linear é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para formar a base diagonalizável.
Passo 7
Para finalizar, se a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores for igual à dimensão do espaço vetorial, então o operador é diagonalizável. Caso contrário, não é.
Resposta
Para determinar se um operador linear é diagonalizável, siga os passos de encontrar seus autovalores, determinar os autovetores correspondentes, comparar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e verificar se a soma das multiplicidades geométricas iguala a dimensão do espaço. Se sim, o operador é diagonalizável.
Exercícios relacionados
O que significa dizer que um vetor
é um autovetor de um operador linear
?
Considere
como a base de
formada pelos vetores
e
. Seja
tal que
Determine
onde
é a base canônica de
.
Seja
tal que
.
(a) Determine os autovalores de .
(a) Determine os autovalores de
Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de
.