Como determinar se um operador linear é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: Como determinar se um operador linear é diagonalizável? Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios), além de conceitos sobre multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear diagonalizável. Um operador linear é considerado diagonalizável se ele puder ser representado por uma matriz diagonal em alguma base. Isso significa que existe uma base formada por autovetores desse operador. Em termos mais simples, a matriz do operador tem zeros fora da diagonal principal quando usamos essa base.

Passo 3

Para verificar se um operador é diagonalizável, o primeiro passo é encontrar os autovalores do operador. Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde é a matriz do operador, é o autovalor, e é a matriz identidade.

Passo 4

Depois de encontrar os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada autovalor , resolvemos a equação:
onde é o autovetor.

Passo 5

Agora, vamos analisar as multiplicidades. Cada autovalor tem duas multiplicidades importantes:
  1. Multiplicidade Algébrica: Quantas vezes o autovalor aparece como raiz da equação característica.
  2. Multiplicidade Geométrica: A dimensão do espaço de autovetores associados a , ou seja, o número de autovetores linearmente independentes correspondentes a .

Passo 6

O teorema fundamental nos diz que um operador linear é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para formar a base diagonalizável.

Passo 7

Para finalizar, se a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores for igual à dimensão do espaço vetorial, então o operador é diagonalizável. Caso contrário, não é.

Resposta

Para determinar se um operador linear é diagonalizável, siga os passos de encontrar seus autovalores, determinar os autovetores correspondentes, comparar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e verificar se a soma das multiplicidades geométricas iguala a dimensão do espaço. Se sim, o operador é diagonalizável.

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