Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(G) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de vetores que estão no espaço . Além disso, temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas e :
A questão pede para considerarmos a afirmativa (G) que diz “Todas são verdadeiras.” Embora não tenhamos as outras afirmativas, vamos trabalhar com o que temos para entender o que está sendo questionado. Vamos precisar dos conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas e .
  • Sistema : É o sistema homogêneo associado aos vetores . A matriz aumentada inclui o vetor zero, ou seja:
  • Sistema : Nesse sistema, temos:

Passo 3

Vamos analisar cada sistema:
  1. Análise do Sistema :
    Esse é um sistema homogêneo. A solução trivial sempre existe, que é . Se houver soluções não triviais, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.
  2. Análise do Sistema :
    Esse é um sistema não homogêneo. A existência de soluções depende de estar no espaço gerado por e . Se o sistema tiver solução, então pode ser escrito como combinação linear de e , o que também indica dependência linear.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as duas análises:
  • Se tem apenas a solução trivial, então são linearmente independentes.
  • Se tem soluções não triviais, então há dependência linear.
Para :
  • Se tem solução, então está no espaço gerado por e , indicando dependência linear.
  • Se não tem solução, não está nesse espaço, indicando independência.

Passo 5

Considerando que estas condições estão interligadas, a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” só pode ser avaliada se soubermos quais são as outras afirmativas. Contudo, com base nas informações que temos:
  • Se os vetores forem linearmente independentes, então tem apenas a solução trivial e não tem solução.
  • Se forem linearmente dependentes, tem soluções não triviais e tem solução.
Sem as demais afirmativas, não podemos concluir se “Todas são verdadeiras”. Mas pelo que analisamos, a dependência ou independência dos vetores influencia diretamente as soluções dos sistemas apresentados.

Resposta

Não é possível confirmar se a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” é correta sem conhecer as demais afirmativas. Com as informações fornecidas, analisamos que a dependência linear dos vetores determina as soluções dos sistemas e . Para concluir, precisamos das outras opções para verificar a veracidade da afirmativa (G).

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