Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(G) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de vetores que estão no espaço . Além disso, temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas e :
A questão pede para considerarmos a afirmativa (G) que diz “Todas são verdadeiras.” Embora não tenhamos as outras afirmativas, vamos trabalhar com o que temos para entender o que está sendo questionado. Vamos precisar dos conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas e .
Sistema : É o sistema homogêneo associado aos vetores . A matriz aumentada inclui o vetor zero, ou seja:
Sistema : Nesse sistema, temos:
Passo 3
Vamos analisar cada sistema:
Análise do Sistema :
Esse é um sistema homogêneo. A solução trivial sempre existe, que é . Se houver soluções não triviais, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.
Análise do Sistema :
Esse é um sistema não homogêneo. A existência de soluções depende de estar no espaço gerado por e . Se o sistema tiver solução, então pode ser escrito como combinação linear de e , o que também indica dependência linear.
Passo 4
Agora, vamos relacionar as duas análises:
Se tem apenas a solução trivial, então são linearmente independentes.
Se tem soluções não triviais, então há dependência linear.
Para :
Se tem solução, então está no espaço gerado por e , indicando dependência linear.
Se não tem solução, não está nesse espaço, indicando independência.
Passo 5
Considerando que estas condições estão interligadas, a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” só pode ser avaliada se soubermos quais são as outras afirmativas. Contudo, com base nas informações que temos:
Se os vetores forem linearmente independentes, então tem apenas a solução trivial e não tem solução.
Se forem linearmente dependentes, tem soluções não triviais e tem solução.
Sem as demais afirmativas, não podemos concluir se “Todas são verdadeiras”. Mas pelo que analisamos, a dependência ou independência dos vetores influencia diretamente as soluções dos sistemas apresentados.
Resposta
Não é possível confirmar se a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” é correta sem conhecer as demais afirmativas. Com as informações fornecidas, analisamos que a dependência linear dos vetores determina as soluções dos sistemas e . Para concluir, precisamos das outras opções para verificar a veracidade da afirmativa (G).