Considere beta=v1, v2, v3 subset R^5 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
(G) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 que estão no espaço R^5. Além disso, temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas S1 e S2:
S1:[ccc|c v1 & v2 & v3 & 0 ] e S2:[cc|c v1 & v2 & v3 ]
A questão pede para considerarmos a afirmativa (G) que diz “Todas são verdadeiras.” Embora não tenhamos as outras afirmativas, vamos trabalhar com o que temos para entender o que está sendo questionado. Vamos precisar dos conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas S1 e S2.
  • Sistema S1: É o sistema homogêneo associado aos vetores v1, v2, v3. A matriz aumentada inclui o vetor zero, ou seja:
S1: v1x1 + v2x2 + v3x3 = 0
  • Sistema S2: Nesse sistema, temos:
S2: v1x1 + v2x2 = v3

Passo 3

Vamos analisar cada sistema:
  1. Análise do Sistema S1:
    Esse é um sistema homogêneo. A solução trivial sempre existe, que é x1 = x2 = x3 = 0. Se houver soluções não triviais, isso indica que os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes.
  2. Análise do Sistema S2:
    Esse é um sistema não homogêneo. A existência de soluções depende de v3 estar no espaço gerado por v1 e v2. Se o sistema tiver solução, então v3 pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2, o que também indica dependência linear.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as duas análises:
  • Se S1 tem apenas a solução trivial, então v1, v2, v3 são linearmente independentes.
  • Se S1 tem soluções não triviais, então há dependência linear.
Para S2:
  • Se S2 tem solução, então v3 está no espaço gerado por v1 e v2, indicando dependência linear.
  • Se não tem solução, v3 não está nesse espaço, indicando independência.

Passo 5

Considerando que estas condições estão interligadas, a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” só pode ser avaliada se soubermos quais são as outras afirmativas. Contudo, com base nas informações que temos:
  • Se os vetores forem linearmente independentes, então S1 tem apenas a solução trivial e S2 não tem solução.
  • Se forem linearmente dependentes, S1 tem soluções não triviais e S2 tem solução.
Sem as demais afirmativas, não podemos concluir se “Todas são verdadeiras”. Mas pelo que analisamos, a dependência ou independência dos vetores influencia diretamente as soluções dos sistemas apresentados.

Resposta

Não é possível confirmar se a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” é correta sem conhecer as demais afirmativas. Com as informações fornecidas, analisamos que a dependência linear dos vetores v1, v2, v3 determina as soluções dos sistemas S1 e S2. Para concluir, precisamos das outras opções para verificar a veracidade da afirmativa (G).

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