Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(G) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de vetores
que estão no espaço
. Além disso, temos dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas
e
:
A questão pede para considerarmos a afirmativa (G) que diz “Todas são verdadeiras.” Embora não tenhamos as outras afirmativas, vamos trabalhar com o que temos para entender o que está sendo questionado. Vamos precisar dos conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas
e
.
- Sistema
: É o sistema homogêneo associado aos vetores . A matriz aumentada inclui o vetor zero, ou seja:
- Sistema
: Nesse sistema, temos:
Passo 3
Vamos analisar cada sistema:
-
Análise do Sistema
: Esse é um sistema homogêneo. A solução trivial sempre existe, que é. Se houver soluções não triviais, isso indica que os vetores são linearmente dependentes. -
Análise do Sistema
: Esse é um sistema não homogêneo. A existência de soluções depende deestar no espaço gerado por e . Se o sistema tiver solução, então pode ser escrito como combinação linear de e , o que também indica dependência linear.
Passo 4
Agora, vamos relacionar as duas análises:
- Se
tem apenas a solução trivial, então são linearmente independentes. - Se
tem soluções não triviais, então há dependência linear.
Para
:
- Se
tem solução, então está no espaço gerado por e , indicando dependência linear. - Se não tem solução,
não está nesse espaço, indicando independência.
Passo 5
Considerando que estas condições estão interligadas, a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” só pode ser avaliada se soubermos quais são as outras afirmativas. Contudo, com base nas informações que temos:
- Se os vetores forem linearmente independentes, então
tem apenas a solução trivial e não tem solução. - Se forem linearmente dependentes,
tem soluções não triviais e tem solução.
Sem as demais afirmativas, não podemos concluir se “Todas são verdadeiras”. Mas pelo que analisamos, a dependência ou independência dos vetores influencia diretamente as soluções dos sistemas apresentados.
Resposta
Não é possível confirmar se a afirmativa (G) “Todas são verdadeiras” é correta sem conhecer as demais afirmativas. Com as informações fornecidas, analisamos que a dependência linear dos vetores
determina as soluções dos sistemas
e
. Para concluir, precisamos das outras opções para verificar a veracidade da afirmativa (G).