Seja A=(ai j)3 times 3 tal que ai j=|i-j|. (1,5) Calcule det(A).

Passo 1

Vamos resolver o cálculo do determinante da matriz de ordem , onde cada elemento é definido por . Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz e aplicar a fórmula do determinante para matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A = |1-1| & |1-2| & |1-3| |2-1| & |2-2| & |2-3| |3-1| & |3-2| & |3-3| = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 . Sabemos que . Então, calculando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33 . Para uma matriz det(A) = (0)(0)(0) + (1)(1)(2) + (2)(1)(1) - (2)(0)(2) - (0)(1)(1) - (1)(1)(0) , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, usaremos a regra de Sarrus para simplificar.
A regra de Sarrus funciona assim:
Aplicando os valores de :

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
(0)(0)(0) &= 0 (1)(1)(2) &= 2 (2)(1)(1) &= 2 -(2)(0)(2) &= 0 -(0)(1)(1) &= 0 -(1)(1)(0) &= 0
Somando todos os termos:
0 + 2 + 2 - 0 - 0 - 0 = 4

Resposta

O determinante da matriz é .

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