Seja A=(ai j)3 times 3 tal que ai j=|i-j|. (1,5) Calcule Adj(A).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem onde cada elemento é dado por (o valor absoluto da diferença entre e ). O objetivo é calcular a adjunta dessa matriz, representada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta. A adjunta de uma matriz é a transposta da matriz dos cofatores. Portanto, os passos principais serão:
  1. Construir a matriz .
  2. Encontrar os cofatores de cada elemento de .
  3. Formar a matriz dos cofatores.
  4. Transpor essa matriz para obter a adjunta .

Passo 2

Vamos começar construindo a matriz A = |1-1| & |1-2| & |1-3| |2-1| & |2-2| & |2-3| |3-1| & |3-2| & |3-3| . Sabemos que A = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 . Então, para cada posição na matriz :
Calculando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1 . O cofator 1 & 1 2 & 0 = (1)(0) - (1)(2) = -2 é dado por 1 & 0 2 & 1 = (1)(1) - (0)(2) = 1 vezes o determinante da matriz que sobra quando removemos a 1 & 2 1 & 0 = (1)(0) - (2)(1) = -2 -ésima linha e a 0 & 2 2 & 0 = (0)(0) - (2)(2) = -4 -ésima coluna de 0 & 1 2 & 1 = (0)(1) - (1)(2) = -2 .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator 1 & 2 0 & 1 = (1)(1) - (2)(0) = 1 :
0 & 2 1 & 1 = (0)(1) - (2)(1) = -2
Então, 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,
  1. Cofator :
Então,

Passo 4

Com todos os cofatores calculados, podemos construir a matriz dos cofatores:
Cofatores = -1 & 2 & 1 2 & -4 & 2 1 & 2 & -1
Agora, para encontrar a adjunta Adj(A) = -1 & 2 & 1 2 & -4 & 2 1 & 2 & -1 ^T = -1 & 2 & 1 2 & -4 & 2 1 & 2 & -1 , precisamos transpor essa matriz dos cofatores:
Como a matriz dos cofatores é simétrica, a transposta é igual a ela mesma.

Resposta

A adjunta da matriz Adj(A) = -1 & 2 & 1 2 & -4 & 2 1 & 2 & -1 é:

Exercícios relacionados