Seja S o conjunto dos (x1, ldots, x19) in R^19 tais que:
c x5=x2 x15=x7 x12=x13 x5-x15=x2-x7
A dimensão de S é:
(B) 19

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a dimensão do conjunto , que é formado por vetores de que satisfazem um sistema de equações. O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de espaço vetorial e dimensão. Para resolver, vamos analisar as equações que definem e verificar quantas variáveis são livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que definem x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 :

Passo 3

Vamos analisar cada equação:
  1. implica que .
  2. implica que .
  3. implica que .
  4. .

Passo 4

Observemos que a quarta equação pode ser reescrita usando as duas primeiras:
x5 - x15 = x2 - x7
Como x2 - x7 = x2 - x7 e , substituindo na equação:
Isso é sempre verdadeiro, então a quarta equação não adiciona nenhuma nova restrição. Portanto, na verdade, temos apenas 3 equações independentes.

Passo 5

Agora, para encontrar a dimensão de dimensão = n - r , usamos a fórmula:
dimensão = 19 - 3 = 16 ã
Onde é o número de variáveis (aqui, 19) e é o número de equações independentes (aqui, 3).
ã

Resposta

A dimensão de é .

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