Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a dimensão do conjunto , que é formado por vetores de 19 dimensões () que satisfazem algumas condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o conjunto x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 . Temos o seguinte sistema de equações:
Essas equações impõem restrições sobre os componentes dos vetores que pertencem a .
Passo 3
Agora, vamos simplificar essas equações. Observamos que a quarta equação:
x5 - x15 = x2 - x7
pode ser reescrita usando as duas primeiras equações:
x2 - x7 = x2 - x7
Isso significa que a quarta equação não adiciona nenhuma restrição nova ao sistema, pois ela é uma consequência das duas primeiras. Então, efetivamente, temos apenas três equações independentes:
x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13
Passo 4
Em seguida, vamos contar quantas variáveis livres temos. No espaço 19 - 3 = 16 , temos 19 variáveis (). Cada equação que impõe uma condição relaciona duas variáveis, reduzindo o número de graus de liberdade.
Aqui, temos 3 equações independentes, o que significa que 3 variáveis são determinadas por outras. Portanto, o número de variáveis livres é:
Passo 5
A dimensão do conjunto corresponde ao número de variáveis livres, que representa a quantidade de direções independentes no espaço em que podemos mover sem violar as condições dadas. Assim, a dimensão de é 16.