Determine a dimensão de
span[r1 -2 2 1],[r2 -5 5 4],[r0 -1 -2 4],[r2 -2 -4 2].
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a dimensão do espaço gerado (ou span) por quatro vetores no espaço ℝ⁴. Isso significa que queremos saber quantos desses vetores são independentes e, portanto, formam a base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, independência linear e rank de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os quatro vetores dados em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
A = 1 & 2 & 0 & 2 -2 & -5 & -1 & -2 2 & 5 & -2 & -4 1 & 4 & 4 & 2

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão do espaço gerado por esses vetores, precisamos determinar o rank dessa matriz, ou seja, o número de colunas linearmente independentes. Vamos fazer isso usando o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em forma escalonada.

Passo 4

Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (o número 1 na posição (1,1)):
  • Linha 2: Adicionar 2 vezes a Linha 1 à Linha 2:
    (-2) + 2(1) = 0 (-5) + 2(2) = -1 (-1) + 2(0) = -1 (-2) + 2(2) = 2
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3:
    2 - 2(1) = 0 5 - 2(2) = 1 (-2) - 2(0) = -2 (-4) - 2(2) = -8
  • Linha 4: Subtrair 1 vez a Linha 1 da Linha 4:
    1 - 1(1) = 0 4 - 1(2) = 2 4 - 1(0) = 4 2 - 1(2) = 0
A matriz fica assim:
1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 1 & -2 & -8 0 & 2 & 4 & 0

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Nosso próximo pivô é o -1 na posição (2,2). Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo e acima dele:
  • Linha 3: Adicionar a Linha 2 à Linha 3:
    0 + 0 = 0 1 + (-1) = 0 (-2) + (-1) = -3 (-8) + 2 = -6
  • Linha 4: Subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 4:
    0 - 0 = 0 2 - 2(-1) = 4 4 - 2(-1) = 6 0 - 2(2) = -4
A matriz agora é:
1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 4 & 6 & -4

Passo 6

Continuando, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -3:
1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 2 0 & 4 & 6 & -4
Agora, usamos o terceiro pivô (1 na posição (3,3)) para eliminar os elementos acima e abaixo dele:
  • Linha 2: Adicionar a Linha 3 à Linha 2:
    0 + 0 = 0 -1 + 0 = -1 -1 + 1 = 0 2 + 2 = 4
  • Linha 4: Subtrair 6 vezes a Linha 3 da Linha 4:
    0 - 0 = 0 4 - 0 = 4 6 - 6(1) = 0 -4 - 6(2) = -16
A matriz fica:
1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 2 0 & 4 & 0 & -16

Passo 7

Por fim, vamos simplificar a segunda coluna. Vamos multiplicar a Linha 2 por -1:
1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 2 0 & 4 & 0 & -16
Agora, usamos a Linha 2 para eliminar os elementos acima e abaixo dela:
  • Linha 1: Subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 1:
    1 - 2(0) = 1 2 - 2(1) = 0 0 - 2(0) = 0 2 - 2(-4) = 10
  • Linha 4: Subtrair 4 vezes a Linha 2 da Linha 4:
    0 - 4(0) = 0 4 - 4(1) = 0 0 - 4(0) = 0 -16 - 4(-4) = 0
A matriz final em forma escalonada é:
1 & 0 & 0 & 10 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Observamos que há 3 pivôs (nas colunas 1, 2 e 3). Isso significa que três vetores são linearmente independentes, e a matriz tem um rank de 3. Portanto, a dimensão do espaço gerado por esses vetores é 3.

Resposta

A dimensão do espaço gerado é 3.

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