Determine a dimensão de
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a dimensão do espaço gerado (ou span) por quatro vetores no espaço ℝ⁴. Isso significa que queremos saber quantos desses vetores são independentes e, portanto, formam a base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, independência linear e rank de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os quatro vetores dados em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão do espaço gerado por esses vetores, precisamos determinar o rank dessa matriz, ou seja, o número de colunas linearmente independentes. Vamos fazer isso usando o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em forma escalonada.

Passo 4

Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (o número 1 na posição (1,1)):
  • Linha 2: Adicionar 2 vezes a Linha 1 à Linha 2:
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3:
  • Linha 4: Subtrair 1 vez a Linha 1 da Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Nosso próximo pivô é o -1 na posição (2,2). Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo e acima dele:
  • Linha 3: Adicionar a Linha 2 à Linha 3:
  • Linha 4: Subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 4:
A matriz agora é:

Passo 6

Continuando, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -3:
Agora, usamos o terceiro pivô (1 na posição (3,3)) para eliminar os elementos acima e abaixo dele:
  • Linha 2: Adicionar a Linha 3 à Linha 2:
  • Linha 4: Subtrair 6 vezes a Linha 3 da Linha 4:
A matriz fica:

Passo 7

Por fim, vamos simplificar a segunda coluna. Vamos multiplicar a Linha 2 por -1:
Agora, usamos a Linha 2 para eliminar os elementos acima e abaixo dela:
  • Linha 1: Subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 1:
  • Linha 4: Subtrair 4 vezes a Linha 2 da Linha 4:
A matriz final em forma escalonada é:

Passo 8

Observamos que há 3 pivôs (nas colunas 1, 2 e 3). Isso significa que três vetores são linearmente independentes, e a matriz tem um rank de 3. Portanto, a dimensão do espaço gerado por esses vetores é 3.

Resposta

A dimensão do espaço gerado é 3.

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