Determine a dimensão de
.
(E) 4
(E) 4
Passo 1
Beleza! A gente precisa descobrir a dimensão do span dos vetores que foram dados. O span é, basicamente, o conjunto de todas as combinações lineares que a gente pode fazer com esses vetores. Para achar a dimensão, precisamos ver quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, quantos deles realmente contribuem para o espaço gerado. Vamos usar matrizes e determinar o posto delas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, vamos fazer operações para deixar essa matriz na forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais colunas são independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
- Linha 2:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 1 & -2 & -8 0 & 2 & 4 & 0 - Linha 3:
- Linha 4:
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
- Linha 3:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 2 & 4 - Linha 4:
A matriz fica:
Passo 5
Vamos agora usar a terceira linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira coluna.
- Linha 4:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 & 0
Isso simplifica a matriz para:
Passo 6
Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Cada linha não nula representa uma dimensão no span.
Temos 3 linhas não nulas.
Resposta
A dimensão do span é 3.