Determine a dimensão de
span[r1 -2 2 1],[r2 -5 5 4],[r0 -1 -2 4],[r2 -2 -4 2].
(E) 4

Passo 1

Beleza! A gente precisa descobrir a dimensão do span dos vetores que foram dados. O span é, basicamente, o conjunto de todas as combinações lineares que a gente pode fazer com esses vetores. Para achar a dimensão, precisamos ver quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, quantos deles realmente contribuem para o espaço gerado. Vamos usar matrizes e determinar o posto delas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna da matriz:
A = 1 & 2 & 0 & 2 -2 & -5 & -1 & -2 2 & 5 & -2 & -4 1 & 4 & 4 & 2

Passo 3

Agora, vamos fazer operações para deixar essa matriz na forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais colunas são independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  • Linha 2: A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 1 & -2 & -8 0 & 2 & 4 & 0
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha 3: A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 2 & 4
  • Linha 4:
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora usar a terceira linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira coluna.
  • Linha 4: A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 & 0
Isso simplifica a matriz para:

Passo 6

Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Cada linha não nula representa uma dimensão no span.
Temos 3 linhas não nulas.

Resposta

A dimensão do span é 3.

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