Determine a dimensão de
.
(E) 4

Passo 1

Beleza! A gente precisa descobrir a dimensão do span dos vetores que foram dados. O span é, basicamente, o conjunto de todas as combinações lineares que a gente pode fazer com esses vetores. Para achar a dimensão, precisamos ver quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, quantos deles realmente contribuem para o espaço gerado. Vamos usar matrizes e determinar o posto delas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, vamos fazer operações para deixar essa matriz na forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais colunas são independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora usar a terceira linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira coluna.
  • Linha 4:
Isso simplifica a matriz para:

Passo 6

Agora, contamos quantas linhas não nulas temos na matriz escalonada. Cada linha não nula representa uma dimensão no span.
Temos 3 linhas não nulas.

Resposta

A dimensão do span é 3.

Exercícios relacionados

Determine a dimensão de
.
(A) 0
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(D) 18
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(G) 3