Determine a dimensão de
span[r1 -2 2 1],[r2 -5 5 4],[r0 -1 -2 4],[r2 -2 -4 2].
(A) 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O enunciado pede para determinar a dimensão do espaço gerado (span) por quatro vetores no . Para isso, vamos precisar entender conceitos como span, dimensão e independência linear. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, o que é o span de um conjunto de vetores? O span é basicamente todos os possíveis vetores que você pode obter combinando os vetores do conjunto com combinações lineares. A dimensão desse espaço é o número de vetores que formam uma base para ele, ou seja, o número de vetores linearmente independentes no conjunto.

Passo 3

Para descobrir quantos vetores são linearmente independentes, vamos organizar os vetores dados em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 1 & 2 & 0 & 2 -2 & -5 & -1 & -2 2 & 5 & -2 & -4 1 & 4 & 4 & 2

Passo 4

Agora, vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas (usando o método de eliminação de Gauss). Isso nos ajudará a identificar quantas colunas têm pivôs (elementos líderes), que correspondem a vetores independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na primeira posição):
R2 = R2 + 2R1 Rightarrow (-2) + 2(1) = 0 R3 = R3 - 2R1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0 R4 = R4 - R1 Rightarrow 1 - 1 = 0
A matriz fica assim:
1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & -2 0 & 1 & -2 & -4 0 & 2 & 4 & 0

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está em R3 = R3 + R2 Rightarrow 1 + (-1) = 0 R4 = R4 + 2R2 Rightarrow 2 + 2(-1) = 0 R1 = R1 - 2R2 Rightarrow 2 - 2(-1) = 4 , que é 1 & 0 & 2 & 6 0 & -1 & -1 & -2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 6 & 4 . Vamos usar para eliminar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna:
A matriz agora fica:

Passo 6

Continuando, vamos trabalhar com a terceira coluna. O pivô pode ser R4 = R4 + 2R3 Rightarrow 6 + 2(-3) = 0 na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo:
1 & 0 & 2 & 6 0 & -1 & -1 & -2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 & -8
A matriz fica:

Passo 7

Agora, observamos que cada linha tem um pivô único:
  • Linha 1: pivô na coluna 1
  • Linha 2: pivô na coluna 2
  • Linha 3: pivô na coluna 3
  • Linha 4: pivô na coluna 4
Isso significa que todos os quatro vetores são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do espaço gerado pelos vetores é 4.

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