Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O enunciado pede para determinar a dimensão do espaço gerado (span) por quatro vetores no . Para isso, vamos precisar entender conceitos como span, dimensão e independência linear. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, o que é o span de um conjunto de vetores? O span é basicamente todos os possíveis vetores que você pode obter combinando os vetores do conjunto com combinações lineares. A dimensão desse espaço é o número de vetores que formam uma base para ele, ou seja, o número de vetores linearmente independentes no conjunto.
Passo 3
Para descobrir quantos vetores são linearmente independentes, vamos organizar os vetores dados em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Passo 4
Agora, vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas (usando o método de eliminação de Gauss). Isso nos ajudará a identificar quantas colunas têm pivôs (elementos líderes), que correspondem a vetores independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na primeira posição):
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está em , que é . Vamos usar para eliminar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna:
A matriz agora fica:
Passo 6
Continuando, vamos trabalhar com a terceira coluna. O pivô pode ser na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo:
A matriz fica:
Passo 7
Agora, observamos que cada linha tem um pivô único:
Linha 1: pivô na coluna 1
Linha 2: pivô na coluna 2
Linha 3: pivô na coluna 3
Linha 4: pivô na coluna 4
Isso significa que todos os quatro vetores são linearmente independentes.