Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O enunciado pede para determinar a dimensão do espaço gerado (span) por quatro vetores no . Para isso, vamos precisar entender conceitos como span, dimensão e independência linear. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, o que é o span de um conjunto de vetores? O span é basicamente todos os possíveis vetores que você pode obter combinando os vetores do conjunto com combinações lineares. A dimensão desse espaço é o número de vetores que formam uma base para ele, ou seja, o número de vetores linearmente independentes no conjunto.
Passo 3
Para descobrir quantos vetores são linearmente independentes, vamos organizar os vetores dados em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Agora, vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas (usando o método de eliminação de Gauss). Isso nos ajudará a identificar quantas colunas têm pivôs (elementos líderes), que correspondem a vetores independentes.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na primeira posição):
Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está em R3 = R3 + R2 Rightarrow 1 + (-1) = 0 R4 = R4 + 2R2 Rightarrow 2 + 2(-1) = 0 R1 = R1 - 2R2 Rightarrow 2 - 2(-1) = 4 , que é 1 & 0 & 2 & 6 0 & -1 & -1 & -2 0 & 0 & -3 & -6 0 & 0 & 6 & 4 . Vamos usar para eliminar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna:
A matriz agora fica:
Passo 6
Continuando, vamos trabalhar com a terceira coluna. O pivô pode ser R4 = R4 + 2R3 Rightarrow 6 + 2(-3) = 0 na terceira linha. Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo: